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2. Leyes de los exponentes
[pic]
Corresponde a la sesión de GA 2.2 A TODA LEY
A la operación matemática que representa, en forma abreviada, la multiplicación de factores iguales se le llama potenciación.
La potenciación, como expresión algebraica, la conforman los siguientes elementos:
a = base
m = exponente
b = potencia
Así se tiene que:
[pic]
Con base en esta definición es posibleentender las leyes de los exponentes.
Primera ley: Producto de potencias con la misma base.
Ejemplo:
a³ • a²
Por la definición de potencia se tiene:
[pic]
donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:
a³ • a² = a³+²
= [pic]
Al generalizar se afirma que:
|El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. ||[pic] |

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base
Ejemplo: [pic]
Por la definición de potencia se tiene:
[pic]
Al cancelar factores iguales queda:
[pic]
Al generalizar queda:
|El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a ladiferencia de los exponentes. |
|[pic] |

Obsérvese ahora el siguiente ejemplo:
[pic]
y se sabe que:
[pic]
Por transitividad:
[pic]
De lo que se concluye que:
|Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo|
|[pic] |

Tercera ley: Potencia de una potencia
Ejemplo: [pic]
Por la definición de potencia se tiene:
[pic]
Apoyándose en la ley 1;
[pic]
Generalizando se tiene que:
|La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igualque la base elevada al producto de los exponentes. |
|[pic] |

Cuarta ley: Potencia de un producto
Ejemplo: (ab)³
Al aplicar la definición de potencia:
(ab)³ = ab • ab • ab
Aplicando la ley conmutativa:
(ab)³ = a • a • a • b • b • b
Y como la potencia es unamultiplicación abreviada, queda:
a³b³
Generalizando, se tiene que:
|La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores |
|[pic] |

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia
Ejemplo: [pic]Aplicando la definición de potencia:
[pic]
Abreviando la multiplicación de fracciones:
[pic]
Al generalizar se tiene que:
|Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente. |
|[pic] |

Lossiguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la división de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:
[pic]
Pero el cociente de la división (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:
[pic]
Por transitividad:
a° = 1
De donde se generaliza que:
|Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1|

Si se tiene la expresión:
[pic]
Aplicando la definición de potencia:
[pic]
Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:
[pic]
Por transitividad:
a¹ =a
Generalizando:
|Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número |

Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente...
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