Ajuste de curvas

AJUSTE DE CURVAS Y EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS.

En la práctica encontramos a menudo que existen relaciones entre dos o más variables, por ejemplo
los pesos de las personas dependen en cierta medida de sus alturas. Generalmente estas relaciones se
expresan en forma matemática determinando una ecuación que conecte a las variables. Para hallar
una ecuación que relaciones las variables, elprimer paso es recoger datos que muestren valores
correspondientes de las variables bajo consideración.
Así, por ejemplo, supongamos que x e y representan respectivamente, la altura y el peso de personas
adultas, entonces la muestra de “N” individuos revelaría las alturas x1 + x2 + x3+ ..xn y los pesos
correspondientes y1, y2, .........yn.
El próximo paso es marcar los puntos (x1, y1), (x2,y2), ...., (xn, yn) sobre un sistema de coordenadas
rectangulares; el conjunto de puntos resultante se le llama a veces “diagrama de dispersión”.
A partir del diagrama de dispersión es posible con frecuencia visualizar una curva suave que se
aproxime a los datos.
Tal curva se llama una curva aproximarte. En la siguiente figura, por ejemplo los datos parecen
aproximarse bien en una línea recta ydecimos que hay una relación lineal entre las variables. En la
otra figura, sin embargo, aunque existe una relación lineal entre variables, no es lineal, y se dice que
es una relación no lineal.

[pic]

ECUACIONES DE CURVAS APROXIMANTES
Varios tipos de curvas aproximantes y sus ecuaciones se presentan en la lista adjunta para facilitar
posteriores referencias. Todas las letras excepto x ey representan constantes. Las variables x e y, se
llaman variable independiente y dependiente, respectivamente, aunque estos papeles se pueden
intercambiar.
Línea Recta y = a + bx
Parábola, o curva cuadrática y = a + bx + cx2
Curva Cúbica y = a + bx + cx2 + dx3
Curva de Grado n y = a + bx + cx2 + ….. + knxn

LA RECTA
El tipo más sencillo de curva aproximarte es una línea recta, cuyaecuación puede escribirse:
y = a + bx
Dados cualesquiera dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta, se puede determinar las constantes a y
b. La ecuación así obtenida se puede expresar:
y – y1 = m (x – x1)
donde: m = y2 – y1
x2 – x1
Esta ecuación se llama pendiente de la recta y representa el cambio en “y” dividido por el
correspondiente en el cambio en x.
Cuando la ecuaciónse escribe y = a + bx, la constante b es la pendiente m. La constante a que es el
valor de y, cuando x = 0, se llama y intersección.

LA RECTA DE MINIMOS CUADRADOS
La recta de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (x1, y1), (x2, y2), ….., (xn, yn) tiene
por ecuación:
y = a + bx
Donde las constantes a y b quedan fijadas al resolver simultáneamente las ecuaciones:
an + bΣx =Σy (1)
aΣx + bΣx2 = Σxy (2)
Que se llaman ecuaciones normales para la recta de mínimos cuadrados. Las constantes a y b del
sistema de ecuaciones, se pueden hallar, si se desea, con las siguientes formulas:
[pic]

Ejemplo 3. Construir una recta que aproxime los datos y hallar su ecuación:

La ecuación de la recta: Graficando el punto (6, 10)
10 = a + 6b (1), graficando el punto (8, 14)
14 =a + 8b (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos que:
a = 2 b = 2
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -6 y cuya intersección en y es 14.
La ecuación de la recta es y = a + bx, a = 14 b= -6
La ecuación es: y = 14 – 6x
Ejemplo 5. La Profesora Alejandra Durán, aplica un examen de Cálculo a los alumnos del 4 EP. Un año
antes a estos mismos alumnos les habíaaplicado un examen de Trigonometría, siendo los siguientes
resultados, en función del total de reactivos.

[pic]

La ecuación de la recta: Graficando el punto (6, 10)
10 = a + 6b (1), graficando el punto (8, 14)
14 = a + 8b (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos que:
a = 2 b = 2
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -6 y cuya intersección en y es 14.
La...