Algebra boliana

1) Cuadro comparativo

2) Que es el algebra booleana

3) Teorema fundamentales

4) Ejemplos

5)

QUE ES EL AGEBRA BOOLIANA
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento decircuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc.). En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras booleanas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicascomo tablas de verdad y diagramas de Venn.
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Teorema 1. Multiplicación por cero
a) A 0 = 0
b) A+1 = 1
Demostración del inciso (a)
Explicación:
A 0 = A 0 + 0 0 es el neutro de la suma
= A 0 + A A el producto de una variable por su complemento da 0
= A (0 + A) distributividad
= A (A) una variable más el neutro no se altera
= 0una variable por su complemento da 0
Teorema 2. Absorción
a) A + AB = A
b) A(A + B) = A
De aquí en adelante, de acuerdo al principio de dualidad demostrar sólo un inciso de los
siguientes teoremas y automáticamente el inciso dual quedará demostrado.
Notación. De aquí en adelante, el símbolo de multiplicación ( ) se omitirá en ocaciones por
comodidad, así por ejemplo A B se escribirá AB,o bien, (A+B) (C+D) se escribirá (A+B)(C+D)
siendo diferente de A+B C+D, lo cual se escribirá A+BC+D.
Demostrando el inciso (a)
Explicación:
A + AB = A 1 + AB 1 es el neutro del producto
= A(1 + B) distributividad
= A(1) Teorema 1
= A es el neutro del producto
este teoremase puede usar en diversos casos de simplificación, basta con usar identificar en una suma,
una expresión que se repite primero en forma aislada y luego multiplicando a otra expresión.
Ejemplos.
La expresión XY + XYZ por absorción es igual a XY
La expresión A+ AB por absorción es igual con A
etc.
Teorema 3. Cancelación
a) A + AB = A + B
b) A(A + B) = A B
Demostración del inciso (a)Explicación:
A + AB = (A+A)(A+B) distributividad
= 1 (A+B) la suma de una variable con su complemento es 1
= A+B 1 es el neutro del Producto
Este teorema se puede usar en la simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión
sumada Con su complemento multiplicado por otra expresión (o el dual).
Ejemplos:
La expresión A + ABC por cancelación es igual a A + BC
La expresión A+ AB por cancelación es igual a A + B
La expresión XY + XY Z por cancelación es igual a XY + Z
Teorema 4. Cancelación
a) AB + AB = B
b) (A+B)(A+B)=B
Demostración del inciso (a)
Explicación:
AB + A B = (A+A )B distributividad
= 1 B la suma de una variable con su complemento es 1
= B 1 es el neutro del producto
Para usar este resultado hay que identificar dos términos quetienen un factor común y el término que no
es común en una de ellas es el complemento del de la otra.
Ejemplos:
La expresión ABC+ABC, por cancelación es igual a BC
La expresión XYZ+XY Z, por cancelación es igual a Z
Teorema 5. Idempotencia
a) A A = A
b\ A+A= A Capítulo 4
Lademostración del inciso (b) de este teorema es inmediata del teorema de absorción, ya que A + A =
A+ A 1.
Este teorema implica que cuando existen términos semejantes en una expresión, basta con escribir uno
de ellos, o bien, que un término puede "desdoblarse" tantas veces como se quiera. Obsérvese que
también esto implica que A
n
= A para cualquier número n entero positivo.
Ejemplos:
La...