Algebra booleana

ALGEBRA DE BOOLE
“El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas no probados o postulados. En 1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E.Shannon introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores, pueden representarse con esta álgebra. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir elálgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados.” [6] El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y  siempre y cuando se cumpla con 6 postulados de Huntington

Postulados de Huntington

1
a) B es un conjunto cerrado respecto al operador + b) B es un conjunto cerrado respecto al operador  Un conjunto Besta cerrado respecto a un operador binario si, para cada par de elementos de B, el operador binario especifica una regla para obtener un número único de B. Por lo tanto: x, y  B 1(a) x + y  B 1(b) x  y  B

Postulados de Huntington

2
a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador + b) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador  Un conjunto B tieneun elemento identidad respecto a una operación binaria * en B si existe un elemento Z  B con la propiedad: Z * x = x * Z = x para cualquier x  B. Por lo tanto en el álgebra boolena los elementos identidad son: 0 para la operación + y 1 para la operación  x, Z  B 2(a) x + Z = Z + x = x 2(b) x  Z = Z  x = x

Postulados de Huntington

3
a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador+ b) B es un conjunto conmutativo respecto al operador  Un operador binario * en un conjunto B se dice que es conmutativo siempre que: x * y = y * x para x, y  B. Por lo tanto: x, y  B 3(a) x + y = y + x 3(b) x  y = y  x

Postulados de Huntington

4
a)  es distributivo sobre + b) + es distributivo sobre a  Si * y  son dos operadores binarios en un conjunto B , se dice que * esdistributivo sobre  siempre que: x*(y  z) = (x * y)  (x * z). Por lo tanto: x, y, z  B 4(a) x  (y + z) = (x  y) + (x  z) 4(b) x + (y  z) = (x + y)  (x + z)

Postulados de Huntington

5
Para cada elemento x  B, existe un elemento x’  B (llamado complemento de x) tal que: a) x + x’ = 1 b) x  x’ = 0

Postulados de Huntington

6
Existen al menos 2 elementos x, y  B tales que x z y.B = {0,1]

Postulados de Huntington
El álgebra booleana se parece en algunos aspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, se debe tener cuidado de no sustituir las reglas del álgebra boleana por las reglas de el álgebra tradicional cuando no son aplicables.

Teoremas del Álgebra de Boole

1a

x+x=x
por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 5(b) 2(a)

Deducción: x + x = (x + x)  1= (x + x)  (x + x’) = x + (x  x’) =x+0 =x

Teoremas del Álgebra de Boole

1b

xx=x
por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 5(a) 2(b)

Deducción: xx = (x  x) + 0 = (x  x) + (x  x’) = x  (x + x’) =x1 =x

Teoremas del Álgebra de Boole

2a

x+1=1
por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 2(b) 5(a)

Deducción: x + 1 = 1  (x + 1) = (x + x’)  (x + 1) = x + (x’ 1) = x + x’ =1

Teoremas del Álgebra de Boole

2b

x0=0
por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 2(a) 5(b)

Deducción: x  0 = 0 + (x  0) = (x  x’) + (x  0) = x  (x’ + 0) = x  x’ =0

Teoremas del Álgebra de Boole

3

(x’)’=x

Deducción: Si x = 1 x' 0 por el postulado 5 = 5(a) x + x’ = 1 o 1+0=1 5(b) x  x’ = 0 o 10=0 Entonces el complemento de 0 es 1 por lo tanto:...