Algebra de boole

DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA DE BOOLE

Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma lógica ( + ) y un producto lógico ( ● ), una operación unitariaque llamaremos complemento ( ∼ ), se dice que es un Álgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomáticas:

A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; lasuma de a + b es igual
que b + a de la misma manera que el producto de a • b es igual a b • a.
∇ a, b ∈ A, a + b = b + a y a • b = b • a
A2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y( ● ) son, respectivamente, el elemento cero (0) y el elemento (1).
∇ a ∈ A, a + 0 = a y a • 1 = a
A3. Distributiva:
∇ a, b, c ∈ A, a + (b • c) = (a + b) • (a + c) y a • (b + c)= (a • b) + (a • c)
A4. Complementario:
∇ a ∈ A, a + ∼a = 1 y a • ∼a = 0
Comentarios importantes

a) De los axiomas anteriores se deducen las siguientes tablas para lasoperaciones ( + ) y
( ● ).
Suma lógica ( + ) Producto lógico ( ● )
+ 0 1 ● 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 11 0 1
asi
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 | 0 • 0 = 0 0 • 1 = 0 1 • 0 = 0 1 • 1 = 1 |

Para que el Álgebra de Boole anterior sea aplicable a circuitos lógicos se define unconjunto
A de dos elementos como A = {0, 1}, con las operaciones ( + ) y ( ● ). En consecuencia, las
variables a, b, c,… que utilizamos son variables binarias, y sólo pueden tomar un valor de
entredos posibles valores que son “0” y “1”.
Al Álgebra de Boole de varias variables binarias se le denomina Álgebra de
Boole binaria. A partir de ahora supondremos que seguimos trabajando con estaálgebra.

c) La operación producto lógico ( ● ) muchas veces se omitirá, dejándose sobreentendida si se
escriben varias variables seguidas; así por ejemplo, son equivalentes las expresiones...