Algebra de clifford

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Información histórica

En el tratamiento de las álgebras de Clifford, en primer lugar a su vez a su nombre, William Kingdon Clifford.

Nacido en 1845, Clifford era un matemático británico y ateo confeso. Murió
en 1879 de tuberculosis, una de las muchas figuras históricas de morir muy joven. Al igual que muchos grandes matemáticos, que mostraron una gran promesa de una edad joven, destacó ensus estudios (en Cambridge) y enseñó en una universidad de prestigio, en su caso, de la Universidad College de Londres.

En 1875 se casó con Ethel Lucy, quien se convirtió en un autor muy conocido después den su muerte. Tuvieron dos hijos, que eran niños en el momento de su muerte. A pesar de su contribuciones matemáticas se valoran a día de hoy, Clifford es quizás mejor conocido por su ladefensa de la evolución y el ateísmo. Podemos ver cómo se aplican las normas de las matemáticas a la filosofía en el siguiente pasaje en el ensayo La ética de la creencia: "Es mal siempre, en todas partes, y para cualquier persona, a creer cualquier cosa sobre la insuficiencia de pruebas. "

Contribuciones matemáticas WK Clifford se encuentran principalmente en el campo de la geometría.Gran parte de su trabajo se basó en las contribuciones anteriores de William Hamilton, en particular, su cuaterniones. Sus estudios en los espacios abstractos han demostrado su valor a través de los años. Algunas de sus ideas son los precursores de la geometría de la relatividad general.Hoy en día, es
mejor conocido por su álgebra del mismo nombre.

Objetivo

Álgebras de Clifford se puedepensar en sistemas numéricos como se indica. Se trata de una generalización del complejo C los números y el H. cuaterniones Los cuaterniones son números de la forma a + bi + cj + dk donde i2 = j2 = k2 = -1 y ij = k =-ji. Inventado por Hamilton, se pueden utilizar para representar rotaciones en el espacio tridimensional. Con el fin de llegar a las álgebras de Clifford, que lindan con más raíz cuadradade -1, mientras que el mantenimiento de la regla ij = -ji para todas las raíces tales. Un sistema de este número tiene aplicaciones en la geometría de las mayores dimensiones y la física teórica, así como las áreas en lugares tan lejanos como teoría de la codificación. Como álgebra, el álgebra de Clifford son los anillos y los espacios vectoriales.

Él nos permite construcción de matrices de laacción de la izquierda del álgebra de Clifford en la misma que tienen las mismas propiedades al álgebra. Estas matrices constituyen una representación de la algebra de clifford.

El método estándar para la descripción de tales matrices no siempre en cuentralos más pequeños matrices con estas propiedades y por lo tanto no siempre es una representación mínima. Uso objetos llamados espinores,un tratamiento estándar para encontrar la representación mínima fue desarrollado. Dimakis ha demostrado que las representaciones mínimas también se puede encontrar con transformaciones lineales llaman proyecciones que se asignan a partir de un espacio vectorial a un subespacio [1, Dimakis].

En este proyecto, se empieza por el desarrollo de los antecedentes necesarios para seguir el enfoqueesbozado por Dimakis. Se supone que el lector ha tenido los primeros cursos en forma lineal y álgebra abstracta. Este fondo se centra en la definición de Cl (n), el álgebra de Cliffordcon contiguo raíces cuadradas de -1 y el desarrollo de sus propiedades como espacios vectoriales como de los anillos.

En particular, se demuestra la representación de la matriz estándar de las álgebras deClifford y definir las proyecciones.

Definición del algebra de clifford
El álgebra geométrica o de Clifford está dotada de multivectores y productos geométricos, permite un subespacio aritmético muy poderoso y además unifica gran cantidad de “constructos” y “herramientas” utilizadas comúnmente en las matemáticas y la física.

Por ejemplo, en esta algebra, los vectores son subespacios...
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