Algebra de matrices

Álgebra Lineal.
Tema 1.1 Espacio Vectorial.
Definición: Será un trió ordenado (E,+,·) con E ¹ F . Si, x · y Î E ; x + y Î E ; l Î Â con l · x Î E.
Ejemplo 1: (Â ,+,·) 3 Î Â ; 3,5 Î Â ; 3 · 3,5 Î Â
Matriz.
Matriz: Es un sistema aij {i, j = 1,2,3…n} en forma ordenada en una tabla rectangular de (p) filas y (n) columnas.
Las matrices se representan con letras mayúsculas A, B, C…
Ejemplo 2:A = A2,3 ; a2,2 = -1
Matriz Fila: A =()
Matriz Columna: B =
Matriz Nula: C =
Matriz Idéntica: Los elementos de la diagonal serán (1) y el restos (0).
D =
Matriz Simétrica: Será la que al cambiar el orden de las filas y las columnas se convertirá en la misma matriz inicial.
H =
Matriz Traspuesta: Se toman las filas y se convierten en columnas y viceversa.
K = KT =
Operaciones conmatrices.
Suma de matrices: Para realizar la suma las matrices tienen que tener el mismo índice y se va a realizar la operación sumando cada elemento de la fila por el que le corresponde en la matriz siguiente.
Ejemplo 3: H + K = .
Multiplicaciones de matrices: Para poder multiplicar, la columna (n) de la primera matriz tiene que tener el mismo índice que la fila (p) de la segunda matriz.
Ejemplo4: · = .
Nota 1: Este desarrollo se realiza de la siguiente manera: Se multiplica filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz (este proceso siempre se realiza elemento por elemento y se van sumando los elementos resultantes de la multiplicación).
Nota 2: El número de filas de la matriz (2era) debe coincidir con el número de columnas de la matriz (1da) e índice de la matrizresultante va a ser el número de filas de la matriz (1era) con el número de columnas de la matriz (2da).
Ejemplo 5: A = B = C =
A matriz 2x2, B matriz 2x2, C matriz 2x2.
Determinante: El determinante solo se le calcula a matrices cuadradas n x n.
Nota 3: Esto se desarrolla de la siguiente manera:
Caso 2x2: Se multiplica los elementos de la diagonal principal (va a ser la diagonal que partedel primer elemento de la primera fila hasta el ultimo elemento de la ultima columna)y se le resta el elemento resultante del producto de la diagonal secundaria.
Ejemplo 6: |A| = = 3x3 – 2x2 = 5.
Caso 3x3(Métodode Sarrus): Se repiten las dos primeras filas al final de la matriz, se multiplican los elementos de las diagonales (la principal y las diagonales inferiores sumando cada multiplicación) yse le resta al elemento de sumar la cada multiplicación de la diagonal secundaria por las inferiores.
Nota 4: Este método se utiliza para matrices 3x3 y 4x4.
· Método de desarrollo por menores.
Forma ordinaria: Se tapa la 1era fila y la 1era columna y se le halla el determinante a la matriz resultante, nuevamente se tapa la 1era fila y la 2era columna y se le halla el determinante a la matrizresultante y así sucesivamente.
Nota 5: Se suma cada determinante resultante cambiando en signo de cada operación (+,-,+,-,+,-…).Si la matriz resultante no es 2x2, 3x3, 4x4 se le vuelve aplicar el método del que se está hablando.
Matriz Inversa: Solo se le puede hallar a matrices cuadradas.
· =
Es decir el inverso de la matriz (1era) va a ser la matriz segunda.
=
Sistemas de ecuacioneslineales.
* SEL es Homogéneo: Cuando los elementos (bi) son todos iguales a (0).
* SEL no Homogéneo: Cuando los elementos (bi) al menos uno es diferente de (0).
* Sea (n) el # de incógnitas (x1,x2,x3,…xn)
* Sea r(A) rango de la matriz del sistema o de la matriz asociada.
* Sea r(A,B) rango de la matriz completada o matriz ampliada.
* Sea (k) cuando r(A) = r(A,B).
(k) or(A) o r(A,B) es el # de filas donde al menos un elemento sea diferente de 0.(Rango).
Ahora:
* Cuando en el sistema k = n es el sistema es Compatible determinado y tiene solución única (esto es siempre y cuando las ecuaciones sean todas linealmente independientes).
* Cuando k < n el sistema es Compatible indeterminado.
* Cuando r(A) ≠ r(A,B) el sistema es indeterminado.
*...