Algebra (generadores)

´ Generadores, Base y Dimension
Prof. Derwis Rivas
Apuntes del Postgrado en Ingenier´a ı

02 Junio 2008

Derwis Rivas

Algebra Lineal

Generadores
´ ´ Definicion (Combinacion Lineal) Dada una familia de vectores v1 , v2 , v3 , ..., vn de un espacio ´ vectorial V (k). Una expresion de la forma α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn donde α1 , α2 , α3 , ..., αn son escalares del cuerpo K es una ´combinacion lineal de v1 , v2 , v3 , ..., vn . Al vector v ∈ V tal que v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ´ se llama vector combinacion lineal de los vectores v1 , v2 , v3 , ..., vn .

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Algebra Lineal

Ejemplo En el espacio M(R)2×2 cualquier matriz ´ combinacion lineal de las matrices 1 0 0 0 En efecto, a b c d =a 1 0 0 0 +b 0 1 0 0 +c 0 0 1 0 +d 0 0 0 1 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 00 0 1 a b c d es

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Algebra Lineal

Ejemplo En el espacio de los polinomios Pn , cualquier polinomio se ´ puede escribir como combinacion lineal de los monomios 1, x, 2 , x 3 , ..., x n . x Ejemplo Encuentra los escalares α1 y α2 que permiten expresar el ´ vector (2, 3) como combinacion lineal de los vectores (1, 3), (2, 5).

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´ Definicion(Conjunto Generador) Se dice que los vectores v1 , v2 ,...,vn en un espacio vectorial V (K ) generan a V si todo vector v en V se puede escribir ´ como combinacion lineal de los vectores v1 , v2 ,...,vn . Es decir, si existen escalares α1 , α2 , α3 ,...,αn tal que v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn para todo vector v ∈ V .

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Ejemplo El conjunto 1 0 0 1 0 0 0 0 S= ,, , genera 0 0 0 0 1 0 0 1 todo el espacio M(R)2×2 . En efecto, toda matriz 2 × 2 se ´ expresa como combinacion lineal de ellos. Ejemplo El conjunto S = {1, x, x 2 , x 3 , ..., x n } genera al espacio Pn .

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Algebra Lineal

Ejemplo El conjunto de vectores S = {(1, 0), (0, 1), (1, 2), (3, 4)} genera al espacio IR2 . En efecto, note que todo vector de IR2 se puede ´ expresar comocombinacion lineal de esta vectores: (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(1, 2) + 0(3, 4). Como puede verse no hay nada especial con los vectores (1, 2) y (3, 4). Estos vectores pueden ser reemplazados por ´ cualquier par de vectores y el resultado sigue siendo valido. ´ ´ Mas aun, se pueden seguir agregando mas vectores al ´ conjunto S y el resultado no var´a siempre que cada escalar ı ´ que seamultiplo de el sea cero. ´

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Algebra Lineal

´ El siguiente teorema es un metodo para encontrar subespacios de un espacio vectorial V . ´ Definicion (Espacio generado) Sean los vectores v1 , v2 ,...,vk en un espacio vectorial V (K ). El espacio generado por S = {v1 , v2 , ..., vk } es el conjunto de combinaciones lineales de v1 , v2 ,...,vk . Es decir, gen{v1 , v2 , ..., vk } = {v ∈V : v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk }

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Algebra Lineal

Ejemplo Los monomios 1, x, x 2 generan el subespacio de polinomios de grado menor o igual a 2. Esto es: gen = {1, x, x 2 } = {p(x) : p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 } = P2 Notese que los escalares son a0 , a1 , a2 . Hemos usado esta ´ notacion por la costumbre de denotar polinomios de esta forma. Claramente, este conjunto noes el unico conjunto que ´ ´ genera a P2 . Por ejemplo, el conjunto {1, x, x 2 , x 3 , x 4 } tambien genera a P2 . En efecto, cualquier polinomio de grado 2 se puede expresar de la forma: p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + 0x 3 + 0x 4 . En los ejemplos anteriores se aprecia que el conjunto de generadores de un subespacio no es unico. ´
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Independencia Lineal
´ Definicion(Dependencia e independencia lineal) ´ Consideremos una coleccion de n vectores en un espacio vectorial V : v1 , v2 , ..., vn . Se dice que los vectores son linealmente independiente o constituyen un conjunto ´ linealmente independiente si para toda combinacion lineal α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0 se tiene que α1 = α2 = ... = αn = 0. Si los vectores no son linealmente independientes se dice que...