algebra lineal contexto

Capítulo 1

Las Matrices y sus Operaciones

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ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO
JOSE ARTURO BARRETO,M.A.

CAPITULO 1.
Las Matrices y sus Operaciones
OBJETIVOS: Al terminar este capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de:
1. Manipular y reconocer la relación entre subíndices y posición de un elemento en una matriz.
2. Efectuar las operaciones básicas con matrices de pequeñas dimensiones.
3.Reconocer y utilizar las propiedades que rigen el álgebra de matrices( asociativas, distributivas, etc. ) en la
simplificación de expresiones y la comprobación de fórmulas.
4. Determinar si matrices de dimensiones pequeñas son no singulares verificando la existencia de la matriz
inversa.
5. Utilizar el hecho de que una matriz sea no singular para obtener conclusiones a partir de la manipulación
deexpresiones algebraicas matriciales.
Las aplicaciones “prácticas” tales como las matrices de adyacencia y las cadenas de Markov, no son el
objetivo central, se presentan por razones de motivación y para ampliar el contexto. Si el instructor lo
considera conveniente podría incluirlas en la evaluación.
El autor considera que el énfasis en las aplicaciones, con cálculos matriciales, en los cursosbásicos de
álgebra lineal, hace que los estudiantes, ávidos de calcular y de emplear recetas, se centren en ellas,
olvidando la generalidad de los conceptos fundamentales que serán realmente aplicados en cursos
avanzados.
Es posible que utilizando herramientas como Matlab, en donde los cálculos, no consumen el tiempo del
estudiante, salvo en la etapa de diseño de las especificaciones del problema y sumétodo de solución, permita
avanzar en aplicaciones a modo de taller. La discusión sobre este punto de vista queda abierta.

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2 Capítulo 1

Las Matrices y sus Operaciones

1.- LAS MATRICES Y SUS OPERACIONES
1.1- Las Matrices
Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como:

(1)

123
456
789
-4 2 8

(2)

1 2
-5 3

(3)

1 2 3
-4 -3 1
2 1 -8

(4 )

7246
3217
1258

Lamatriz * (1) es una matriz de cuatro filas y tres columnnas ( de dimensión 4x3). La matriz (2) es una matriz de
2 filas y 2 columnas (cuadrada, de dimensión 2x2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3 columnas (cuadrada,
de dimension 3x3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas ( de dimensión 3x4).
El número en la fila i, columna j, será denominado como aij.

La matriz

A=

a11
a21
a31

a12
a22a32

a13
a23
a33

a14
a24
a34

es una matriz general de dimensión 3x4 (tres filas, 4 columnas) cuyos elementos se han denominado a11 , a12 ,
a13 , etc., puesto que no se conocen sus valores. La matriz A del ejemplo anterior se abreviará como:
A = ( aij ) 3x4
En general, la notación
A = ( aij ) mxn
denotará a la matriz

A =

a11
a21
a31

a12 ... a1n
a22 ... a2n
a32 ... a3n

am1

am2 ... amn

de mfilas y n columnas.
Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es decir, si es de
dimensión nxn.

Así:
1 2
A=
7 8
es una matriz cuadrada de orden 2 y

B =

1 2 9
7 8 6
4 5 2

es una matriz cuadrada de orden 3.

*

Hay matrices de números complejos. Este texto está dedicado a las matrices cuyos elementos son números reales

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Capítulo 1

Las Matrices ysus Operaciones

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En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22 = 8, se denominan los elementos de la diagonal. Tambien lo son los
números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B.
A los elementos δii (δ11, δ22, δ33, etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal.
Igualdad de Matrices
Definición: Dos matrices de la misma dimensión
A = (aij ) mxn

B = (bij)

mxn

, son iguales

si y sólo sí aij =bij , para todo i,j.
Por lo tanto:

2 3 5

2 3 5
≠

A =

= B,

4 -1 2

4 1 2

puesto que a pesar de que:
aij = bij para todo (i,j) ≠ (2,2), tenemos que:
a22 ≠

b22

Problema resuelto 1:
Describa en detalle a la matriz A = ( aij ) 3x3,

donde aij = 3i + j2.

Solución:
Los elementos serán:

a11 =3 (1) + 12,
a21 =3 (2) + 12 ,
a31 =3 (3) + 12 ,

a12 =3 (1) + 22 ,
a22 =3 (2) + 22 ,
a32 =3 (3) + 22 ,...