Algebra lineal. matrices

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´ Tema 1. Algebra lineal. Matrices
0.1 Introducci´n o

Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran n´mero de situaciones. Son u conocidos los m´todos de resoluci´n de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos e o inc´gnitas que se estudian en la ense˜anza secundaria: los de reducci´n, sustituci´n e o n o o igualaci´n. Ahora se trata de ver c´mo puede procederse cuando haymayor n´mero de o o u ecuaciones y de inc´gnitas simplificando lo m´s posible la escritura. o a La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez m´s sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman a un sistema en otro equivalente sonesencialmente dos: u 1. Multiplicar una ecuacion por un n´mero distinto de 0. 2. Sumar una ecuaci´n a otra. o Consideremos el siguiente ejemplo:   3x +2y = 8  2x +4y = 5

(0.1)

Se puede proceder as´ se multiplica la primera ecuaci´n por 2 y la segunda por −3. Se ı: o obtiene as´ el sistema equivalente ı   6x +4y = 16 ;  −6x −12y = −15 sustituimos la segunda ecuaci´n por la suma de las dos,y resulta o   6x +4y = 16  −8y = 1

(0.2)

(0.3)

Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda ecuaci´n, se sustituye en la primera y en ´sta se despeja la x; resulta o e   y = −1  8  6x + 4 − 1 = 16 =⇒ 6x = 33 =⇒ x = 11  8 2 4

(0.4)

2 Obs´rvese que puede evitarse modificar la primera ecuaci´n y actuar s´lo sobre la segunda: e o o    3x +2y = 8  3x +2y = 8  3x +2y = 8 =⇒ =⇒ (0.5)  2x +4y = 5  −3x −6y = − 15 (− 3 )  −4y = 1
2 2 2

N´tese tambi´n que todo se simplifica si se omite la escritura de las inc´gnitas y se escriben o e o s´lo los coeficientes. As´ (0.5) puede escribirse o ı,       3 2 8 3 2 8 3 2 8   =⇒   =⇒   1 −3 −6 − 15 2 4 5 0 −4 2 2

(0.6)

con el convenio de que la primera columnarepresenta los coeficientes de x, la segunda los coeficientes de y y la tercera los t´rminos independientes. De esta manera llegamos a las e tablas de n´meros que reciben el nombre gen´rico de matrices. u e

0.2

Matrices.
rectangular de n´meros u  . . . a1n   . . . a2n    ... ...   . . . amn

Definici´n 0.1 Una matriz es una estructura o  a a12  11   a21 a22 A=   ... ...  am1 am2(0.7)

Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa por (aij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensi´n m × n. o Definici´n 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensi´n y los elementos o o que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Otros nombres que deben conocerse: • Si el n´mero de filas es igual que eln´mero de columnas, la matriz se llama cuadrada. u u A ese n´mero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada. u • Se llama matriz fila aqu´lla que tiene una sola fila, por ejemplo e A= 3 −1 2 0 5

3 • Se llama matriz columna aqu´lla que tiene una sola columna, por ejemplo e   3      −1      A= 2       0    5 • En una matriz cuadrada se llama diagonalprincipal al conjunto de los elementos de la forma aii . • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At , a la que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo  3 −1      −1 −1  3 −1 2 0 5   =⇒ At =  2 A=  2  −1 −1 2 3 4   0 3  5 4 Si la dimensi´n de A es m × n, la de At es n × m. o • Una matriz cuadrada se llama sim´trica si e  3   A = −1  3 es igual a su traspuesta, por ejemplo  −1 3   −1 2   2 0           

e • Se llama matriz nula aqu´lla cuyos elementos son 0; por ejemplo   0 0 0  A= 0 0 0 es la matriz nula de dimensi´n 2 × 3. o • Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los t´rminos e que no est´n en la diagonal principal, por ejemplo a    3 0 0 3 0 0       o...