Algebra lineal ZARAGOSA

Cap´
ıtulo 1
Introducci´n a la l´gica
o
o
matem´tica y a la teor´ de
a
ıa
conjuntos
1.1.

Introducci´n
o

En el ´lgebra actual tiene importancia y muy especialmente en el c´lculo
a
a
que se efect´a con procesadores electr´nicos, el an´lisis del lenguaje desde
u
o
a
un punto de vista l´gico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar
o
formas complicadas, pero el an´lisisde sus partes ofrece la alternativa de
a
desentra˜ar la esencia de la l´gica de las formas expresivas m´s complejas.
n
o
a
En estas notas, que no pretenden ser m´s que una introducci´n, no tena
o
dr´ sentido extenderse en la consideraci´n de los problemas de la l´gica
ıa
o
o
matem´tica sobre los cuales el lector interesado podr´ consultar obras de
a
a
buen nivel indicadas en labibliograf´
ıa.
Aqu´ nos interesaremos en un tipo especial de proposiciones como por ejemı
plo 5 es un n´mero, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para
u
todo real x, . . . notemos que a estas expresiones se les puede asignar un
valor, seg´n sean verdaderas o falsas. Quedar´n exclu´
u
a
ıdas de nuestra con1

Luis Zegarra A.

Introducci´n a la l´gica matem´tica y a la teor´de conjuntos 2
o
o
a
ıa

sideraci´n, expresiones tales como: Abre la ventana, Estudia con dedicaci´n,
o
o
...

1.2.

Elementos de l´gica
o

o
o
Proposici´n. Una proposici´n es una expresi´n de la cual se puede decir
o
siempre si es verdadera o es falsa (V o F).
Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar que
no compete a la l´gica establecer elvalor de verdad de las proposiciones, es
o
decir, se considerar´n las proposiciones simples con su valor ya asignado.
a

Notaci´n. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante
o
las letras: p, q, r, . . .

Convenci´n. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posio
bles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U ,
se denotan por p ∈ U.

Conectivos o s´
ımbolos. Ocuparemos los siguientes s´
ımbolos, llamados
tambi´n conectivos l´gicos
e
o
∼
∧
∨
⇒
⇔
∨

:
:
:
:
:
:

Negaci´n
o
Conjunci´n
o
Disyunci´n
o
Implicaci´n
o
Doble implicaci´n
o
Disyunci´n excluyente
o

Antes de definirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere los
siguientes comentarios.

Luis Zegarra A.Introducci´n a la l´gica matem´tica y a la teor´ de conjuntos 3
o
o
a
ıa

La relaci´n que establece la conjunci´n “y”simb´licamente por “∧.entre dos
o
o
o
proposiciones en el lenguaje com´n es perfectamente clara, es decir, no da
u
lugar a ninguna ambiguedad.
Por ejemplo, consideramos las proposiciones el 5 es un n´mero (p), el caballo
u
es un animal (q), al decir el 5 es un n´mero y el caballoes un animal (decimos
u
las dos cosas), esta relaci´n se simboliza en l´gica: p ∧ q.
o
o
La relaci´n ∧ permite definir una operaci´n algebraica entre proposiciones,
o
o
en rigor
p ∈ U y q ∈ U es (p ∧ q) ∈ U.
En cambio, la relaci´n establecida entre dos proposiciones por la disyunci´n
o
o
o, ya no es tan clara. En efecto, si analizamos un poco veremos que, en el
lenguaje corriente notiene significado preciso y unico.
´
Por ejemplo, si consideramos el s´bado ir´ al cine o al estadio, para cualquiera
a
e
resulta claro que si voy a un lugar no ir´ al otro, es decir, que una de las
e
acciones que realizar´ excluye la otra.
e
Si en cambio se dice, regalar´ los zapatos viejos o los zapatos negros, se
e
entiende que los zapatos que regalar´ son los viejos y tambi´n losnegros
e
e
(aunque no sean viejos). El o no es en este caso excluyente.
Si en ambos casos se comprende lo que se quiere decir, es por el sentido
general de la frase, pero desde el punto de vista l´gico s´ nos preocupamos
o
ı
exclusivamente en su valor de verdad o falsedad es claro que hay dos interpretaciones diferentes para la relaci´n establecida entre proposiciones por
o
o.
En forma...