Algebra lineal

´ Algebra Lineal I: Conjuntos, relaciones y funciones.
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica ıa a e oUniversidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

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Conjuntos.

Un Conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos. Un conjunto o S se denota por S = {x|x satisface la propiedad P } yest´ formado por todos los objetos x que satisfacen la propiedad P . Si x a pertenece al conjunto S, se denota x ∈ S. En caso contrario, x no pertenece a S y se denota como x ∈ S. / La uni´n de dosconjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∪ S2 , se define como o el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a S1 o que pertenecen a S2 , es decir S1 ∪ S2 = {x|x ∈ S1 o x ∈ S2 }. La intersecci´n dedos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∩ S2 , se define o como el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a S1 y que pertenecen a S2 , es decir S1 ∩ S2 = {x|x ∈ S1 y x ∈ S2 }. El conjuntovacio, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elemento alguno. Un conjunto S1 es un subconjunto de S2 , denotado por S1 ⊆ S2 , si x ∈ S1 implica que x ∈ S2 , o alternativamente S1 ∩ S2 = S1 . Dosconjuntos S1 y S2 son iguales, denotado S1 = S2 si ambos conjuntos tienen los mismos elementos; es decir si S1 ⊆ S2 y S2 ⊆ S1 .

Debe notarse que si S1 ⊆ S2 , es posible que S1 = S2 . Si S1 ⊆ S2 ,pero se sabe que S1 = S2 , entonces se denota S1 ⊂ S2 y se dice que S1 es un subconjunto

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propio de S2 . Todo conjunto S2 tiene como subconjuntos impropios a S2 mismo y al conjunto vacio ∅.Finalmente, dos conjuntos S1 y S2 son disjuntos o excluyentes si S1 ∩ S2 = ∅.

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Relaciones.

El producto Cartesiano de dos conjuntos S1 y S2 , denotado por S1 × S2 , es el conjunto de parejasordenadas (a, b), donde a ∈ S1 y b ∈ S2 ; es decir S1 × S2 = {(a, b)|a ∈ S1 y b ∈ S2 }.

Considere el producto cartesiano S1 × S2 de dos conjuntos S1 y S2 y sea B ⊆ S1 × S2 , entonces B define una...