Algebra lineal
Páginas: 5 (1120 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2011
Conceptos básicos
Representación gráfica de la suma de dos vectores en \mathbb{R}^2.
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado enaplicaciones de uso.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2corresponde a un plano cartesiano XY y \mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:
r \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).
Lainterpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).
Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas quesatisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:
T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de númerosreales, pero puede extenderse a matrices del espacio \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema quees equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
[editar] Contexto general
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores quesatisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
T(u+v)=T(u) + T(v),\qquad T(r\cdot u)=r\cdot T(u).
A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino quepueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dosvectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
[editar] Espacios vectoriales de uso común
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
[editar] Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con...
Representación gráfica de la suma de dos vectores en \mathbb{R}^2.
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado enaplicaciones de uso.
Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2corresponde a un plano cartesiano XY y \mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:
r \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).
Lainterpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).
Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas quesatisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:
T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de númerosreales, pero puede extenderse a matrices del espacio \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema quees equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
[editar] Contexto general
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores quesatisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
T(u+v)=T(u) + T(v),\qquad T(r\cdot u)=r\cdot T(u).
A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino quepueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dosvectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
[editar] Espacios vectoriales de uso común
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
[editar] Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con...
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