ALGEBRA LINEAL

APUNTES DEL CURSO
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Y ÁLGEBRA LINEAL
Gustavo Ito
Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Ciudad
Universitaria, S/N, Lima, Lima, Perú

El autor agradece a...

Contents
Preface
Part 1.

v
Geometría Analítica en el plano

1

Chapter 1. Vectores en el plano
1. De…niciones vectoriales
2. Vectores y coordenadas
3. Suma analitica y grá…ca de vectores
4.Multiplicación de un escalar por un vector
5. Distancia entre dos puntos
6. Producto escalar
7. Vectores ortogonales y ortonormales
8. División de un segmento de una razón dada

3
3
4
9
11
12
12
13
14

Chapter 2. La Recta
1. Pendiente de una recta
2. Ecuación de la recta
3. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
4. Paralelismo de rectas
5. Rectas perpendiculares

17
1719
22
24
25

Chapter 3. Cónicas
1. La Elipse
2. La Parábola
3. La Hipérbola

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30
38
43

Chapter 4. Sistema de los números complejos
1. El plano complejo
2. Cero y opuesto de un número complejo
3. Operaciones en complejos
4. Forma trigonométrica o polar de un número complejo
5. La exponencial compleja

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52
53
54
58
60

Appendix A. The First Appendix

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iiiPreface
Este texto se escribió como material para el curso Geometría Analítica
y Álgebra Lineal, dictado en el semestre académico 2013-I, en la Escuela Académico Profesional de Economía, de la Facultad de Ciencias
Económicas; de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

v

Part 1

Geometría Analítica en el plano

CHAPTER 1

Vectores en el plano
!
Un vector, AB, es unsegmento con una dirección que va del punto
A (origen) al punto B (extremo).
Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al
punto B (extremo).
Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.

1. De…niciones vectoriales
1.1. Dirección de un vector. Es la dirección de la recta que
contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
1.2. Sentido de unvector. El sentido del vector es que va del
origen A al extremo B.
1.3. Módulo de un vector. El módulo del vector longitud del
!
segmento AB, se representa por AB . El módulo de un vector es un
número siempre positivo o cero. Sea
! = (u ; u )
u
1
2
Entonces
k !k =
u

q

u 2 + u2
1
2

3

4

1. VECTORES EN EL PLANO

2. Vectores y coordenadas
2.1. Coordenadas de un vector. Silas coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
A = (x1 ; y1 )
B = (x2 ; y2 )
Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
!
AB = (x2 x1 ; y2 y1 )

2.2. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos.
A = (x1 ; y1 )
B = (x2 ; y2 )

!
AB =

q

(x2

x1 )2 + (y2

y1 )2

2. VECTORES Y COORDENADAS

5

2.3. Tipos devectores.
2.3.1. Vectores equipolentes.

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección
y sentido.
2.3.2. Vectores libres.

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección
y sentido.
2.3.3. Vectores …jos.

Un vector …jo es un representante del vector libre. Es decir, los
vectores…jos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

6

1. VECTORES EN EL PLANO

2.3.4. Vectores ligados.

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la
misma recta. Es decir, los vectores …jos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.
2.3.5. Vectores opuestos.

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, ydistinto
sentido.
2.3.6. Vectores unitarios.

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad. Para obtener un
vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se
divide éste por su módulo.

2. VECTORES Y COORDENADAS

7

2.3.7. Vectores concurrentes.

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.
2.3.8. Vector de posición.

!
El vector OP que une el origen...