Algebra Lineal
Páginas: 15 (3742 palabras)
Publicado: 11 de septiembre de 2011
RENÉ VILCA CURO
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Matrices • Determinantes
• Espacio vectoriales
• Producto escalar • Bases ortonormales
• Transformaciones lineales
• Formas cuadráticas y formas hermitianas • Valores y vectores propios
RENÉ VILCA CURO
El Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia
los vectores, los espacios vectoriales, las transformacioneslineales entre los espacios vectoriales y los sistemas de
ecuaciones lineales.
•Los espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas modernas; el
Álgebra lineal es ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta como en el
análisis funcional.
•El Álgebra lineal tiene una representación concreta en la Geometría Analítica.
•Tiene aplicaciones importantes y vastas en las cienciasnaturales y en las
ciencias sociales, ya que muchos modelos no lineales pueden ser aproximados
por modelos lineales
RENÉ VILCA CURO
La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (quien inventó el nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones. En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. ArthurCayley en 1857, introdujo las matrices (2x2), una de las ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
RENÉ VILCA CURO
RENÉ VILCA CURO
Dados los n m m números complejos a11 , a12 , a13 , ..., amn y b1 , b2 , b3 , ..., bm podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 ai1 x1 a22 x2 ... ai 2 x2 ai 3 x3... ain xn am3 x3 ... amn xn bi bm ... am1 x1 am 2 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
n es el número de incognitas m es el número de ecuaciones RENÉ VILCA CURO
Dadas las constantes complejas a11 , a12 , a13 , ..., amn y b1 , b2 , b3 , ..., bm * ¿En qué condiciones existe un conjunto de números complejos x1 , x2 , x3 ,..., xn que satisfacen simultaneamente las ecuaciones? * ¿Cómo encontramos dichasolución?
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn b1 ... am1 x1 ... amn xn Si b1 b2 bm
... bm
0
el sistema es homogeneo
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn b1 ... am1 x1 ... amn xn bm
Sistema homogeneo asociado a11 x1 ... a1n xn 0 ... am1 x1 ... amn xn 0
RENÉ VILCA CURO
El sistema homogeneo asociado a11 x1 ... a1n xn 0... am1 x1 ... amn xn 0 0 para todo i 0 para alguna i
Solución trivial: xi Solución notrivial: xi
Un sistema homogeneo siempre tiene una solución trivial
RENÉ VILCA CURO
Teorema Sea un sistema homogeneo de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn 0 ... am1 x1 ... amn xn 0
Si n m (más incognitas que ecuaciones) el sistema tiene una solución no trivial.
RENÉ VILCA CURO
Sistema deecuaciones lineales a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 ai1 x1 a22 x2 ... ai 2 x2 ai 3 x3 ... ain xn am3 x3 ... amn xn bi bm ... am1 x1 am 2 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
n es el número de incognitas m es el número de ecuaciones RENÉ VILCA CURO
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los coeficientes: a11 a21 . . . am1 a12 a22 ... a1n ... a2 n y b1 b2 . . . bm
am 2
... amn
RENÉ VILCACURO
RENÉ VILCA CURO
Un arreglo de números complejos a11 a21 . . . am1 a12 a22 ... a1n ... a2 n aij
am 2
... amn
es llamado una matriz m n en C La matriz tiene m renglones y n columnas
RENÉ VILCA CURO
A
a11 a21 . . . am1 aij i
a12 a22
... ...
a1n a2 n
am 2
...
amn 1, 2,..., n
A
1, 2,..., m j
RENÉ VILCA CURO
A es una matriz m n
Un vector x1. . . xn es una matriz n 1
RENÉ VILCA CURO
Un vector x1 ,..., xn es una matriz 1 n
RENÉ VILCA CURO
0 0 ... 0 0 0 ... 0 . . . 0 0 ... 0 aij =0 para todo i, j
RENÉ VILCA son Todos sus elementosCURO cero
a11 a21 .
a12 a22
... a1n ... a2 n El orden de la matriz es n
. . an1 an 2 ... ann aij i 1, 2,..., n
j 1, 2,..., n
RENÉ VILCA CURO Tiene el mismo número de renglones...
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Matrices • Determinantes
• Espacio vectoriales
• Producto escalar • Bases ortonormales
• Transformaciones lineales
• Formas cuadráticas y formas hermitianas • Valores y vectores propios
RENÉ VILCA CURO
El Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia
los vectores, los espacios vectoriales, las transformacioneslineales entre los espacios vectoriales y los sistemas de
ecuaciones lineales.
•Los espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas modernas; el
Álgebra lineal es ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta como en el
análisis funcional.
•El Álgebra lineal tiene una representación concreta en la Geometría Analítica.
•Tiene aplicaciones importantes y vastas en las cienciasnaturales y en las
ciencias sociales, ya que muchos modelos no lineales pueden ser aproximados
por modelos lineales
RENÉ VILCA CURO
La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (quien inventó el nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones. En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. ArthurCayley en 1857, introdujo las matrices (2x2), una de las ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
RENÉ VILCA CURO
RENÉ VILCA CURO
Dados los n m m números complejos a11 , a12 , a13 , ..., amn y b1 , b2 , b3 , ..., bm podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 ai1 x1 a22 x2 ... ai 2 x2 ai 3 x3... ain xn am3 x3 ... amn xn bi bm ... am1 x1 am 2 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
n es el número de incognitas m es el número de ecuaciones RENÉ VILCA CURO
Dadas las constantes complejas a11 , a12 , a13 , ..., amn y b1 , b2 , b3 , ..., bm * ¿En qué condiciones existe un conjunto de números complejos x1 , x2 , x3 ,..., xn que satisfacen simultaneamente las ecuaciones? * ¿Cómo encontramos dichasolución?
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn b1 ... am1 x1 ... amn xn Si b1 b2 bm
... bm
0
el sistema es homogeneo
RENÉ VILCA CURO
Sistema de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn b1 ... am1 x1 ... amn xn bm
Sistema homogeneo asociado a11 x1 ... a1n xn 0 ... am1 x1 ... amn xn 0
RENÉ VILCA CURO
El sistema homogeneo asociado a11 x1 ... a1n xn 0... am1 x1 ... amn xn 0 0 para todo i 0 para alguna i
Solución trivial: xi Solución notrivial: xi
Un sistema homogeneo siempre tiene una solución trivial
RENÉ VILCA CURO
Teorema Sea un sistema homogeneo de ecuaciones lineales a11 x1 ... a1n xn 0 ... am1 x1 ... amn xn 0
Si n m (más incognitas que ecuaciones) el sistema tiene una solución no trivial.
RENÉ VILCA CURO
Sistema deecuaciones lineales a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 a21 x1 ai1 x1 a22 x2 ... ai 2 x2 ai 3 x3 ... ain xn am3 x3 ... amn xn bi bm ... am1 x1 am 2 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
n es el número de incognitas m es el número de ecuaciones RENÉ VILCA CURO
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los coeficientes: a11 a21 . . . am1 a12 a22 ... a1n ... a2 n y b1 b2 . . . bm
am 2
... amn
RENÉ VILCACURO
RENÉ VILCA CURO
Un arreglo de números complejos a11 a21 . . . am1 a12 a22 ... a1n ... a2 n aij
am 2
... amn
es llamado una matriz m n en C La matriz tiene m renglones y n columnas
RENÉ VILCA CURO
A
a11 a21 . . . am1 aij i
a12 a22
... ...
a1n a2 n
am 2
...
amn 1, 2,..., n
A
1, 2,..., m j
RENÉ VILCA CURO
A es una matriz m n
Un vector x1. . . xn es una matriz n 1
RENÉ VILCA CURO
Un vector x1 ,..., xn es una matriz 1 n
RENÉ VILCA CURO
0 0 ... 0 0 0 ... 0 . . . 0 0 ... 0 aij =0 para todo i, j
RENÉ VILCA son Todos sus elementosCURO cero
a11 a21 .
a12 a22
... a1n ... a2 n El orden de la matriz es n
. . an1 an 2 ... ann aij i 1, 2,..., n
j 1, 2,..., n
RENÉ VILCA CURO Tiene el mismo número de renglones...
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