Algebra Lineal

UNIVERSIDAD DE TALCA Instituto de Matem´tica y F´ a ısica

Gu´ 2011 ıas Marzo

Gu´ No 1 ıa ´ Curso: Algebra Lineal Unidad No 1 Carrera: Ingenier´ en Mecatr´nica ıa o Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

1. Suponga que A es de 3 × 5, B es de 5 × 3, C es de 5 × 1, D es de 3 × 1. Indique las operaciones que est´n definidas, y cu´l es el tama˜o del resultado cuando existe: a a n (a) B · A(b) A · (B + C) (c) A · B · D (d) A · C + B · D (e) A · B · A · B · D 2. Encuentre la matriz A en que (At − 2I)−1 = 3. Verifique que A = 1 −1 0 2 2 1 −1 0

satisface la ecuaci´n x2 − 3x + 2 = 0, luego use este o

1 resultado para encontrar que A−1 = (3I − A) 2 4. Verifique que AB = AC , y que A es invertible , pero B = C, para 1 1 0 0 1 1 A= ,B = ,C = 0 1 1 2 1 1 −1 1 1 0 0 0 1 3 d −b −c a5. Determine la inversa de A =

, si existe. Idem para A =

6. Verifique que si A = 

a b c d

en que ad−bc = 0

entonces A−1 =

1 ad−bc

 2 7 1 7. Dada la matriz A =  1 4 −1  determine la inversa de A 1 3 0 8. Encontrar la matriz A en que 3A + 2 9. Muestre que B =
t

1 0 0 2

t

=

8 0 1 3

n 0 , con n entero, conmuta con toda matriz de 2 × 2. 0 n 1

10. Para A = 11.Para A = 12. Sean A =

−1 1 , calcular A2 y A3 . Vea qu´ ocurre con otras potencias. e −1 0 0 −1 , calcular A2 , A3 y A4 . ¿Qu´ ocurre con potencias mayores? e 1 0

2 −3 8 4 5 −2 , B = , C = , verifique que AB = AC, es −4 6 5 5 3 1 decir, la ley de cancelaci´n no aplica a matrices. o

13. Una de las dos matrices es adjunta de la otra. ¿Cu´l? a     0 8 4 1 4 0  −7 2 −1   4 −2 1  −14 8−18 1 −4 2 14. Si B es una matriz de 5 × 5 con determinante igual a 4, ¿cu´nto es el valor del detera minante de su adjunta? 15. Calcular la inversa de las matrices: 3 −2 −5 6   0 −2 −1  3 0 0  −1 1 1  6 4 9 2  1 1 3  2 −2 1  0 1 0

16. Si una matriz A tiene solo n´meros enteros y su determinante es 1, ¿tiene su inversa u solo n´meros enteros? u 17. ¿Verdadero o falso? Justificar: (a) SiA y B son matrices, (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . (b) Si 3 vectores en R3 son l.d., la matriz de 3 × 3 cuyas columnas son estos vectores tiene determinante 0. 18. (a) Encontrar el volumen del paralelep´ ıpedo que tiene un v´rtice en el origen y v´rtices e e adyacentes en (1, 0, −2), (1, 2, 4) y (7, 1, 0). (b) Encontrar el volumen del tetraedro (es 1/3 del producto del area basal por la ´ altura)con v´rtices en el origen, (1, 0, −2), (1, 2, 4) y (7, 1, 0). e 19. Calcule los determinantes 3 1 1 −1 4 1 −4 −3 1 1 1 1 −5 7 1 −3 −6 1

y relacione el resultado con el area de los tri´ngulos con v´rtices en ´ a e 2

• (3, 1), (−1, 4), (−4, −3), • (1, 1), (−5, 7), (−3, −6). 20. A partir del resultado de la pregunta anterior, ¿es posible determinar los vol´menes u del problema 18 usandodeterminantes de 4 × 4? 21. Compruebe la igualdad 3 1 1 3 y use esto para calcular 10 −6 −6 10 22. Compruebe la igualdad 1 1 1 −1 y use esto para calcular 3/2 −1/2 −1/2 3/2
4 4

1 0 0 −1

3 1 1 3

−1

=

10 −6 −6 10

y

10 −6 −6 10

7

.

1 0 0 2

1 1 1 −1

−1

=

3/2 −1/2 −1/2 3/2

.

23. Considere los puntos del plano real: (4, 1), (−2, −2), (2, 0), (−6, −4), (0, −1), ylas matrices siguientes: A= F = 1 0 B= 0 −1 cos θ − sin θ cos θ sin θ −1 0 0 1 C= −1 0 0 −1 D= 0 −1 −1 0 E= 0 k 0 0

siendo k una constante positiva, y el angulo θ medido en sentido antihorario ´ (a) Observar el resultado de aplicar cada matr´ en los puntos dados ız (b) Decidir la acci´n de cada matr´ sobre un par ordenado (x, y) cualquiera o ız (c) Observar el resultado de aplicar el cuadradode cada matr´ en los puntos dados ız (d) Observar el resultado de aplicar cada matr´ elevada a n , natural, en los puntos ız dados (e) Observar el resultado de aplicar cada matr´ en los puntos de alguna curva (figura) ız 24. Determinar la soluci´n general del sistema de ecuaciones o x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 + 3x6 = 1 −x1 − x2 − 2x3 − 2x4 − x5 + 3x6 = 2 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = −3 3

25....