Algebra Lineal

PRACTICA Nº 01
1. Halle las componentes del vector que tiene el punto inicial P1 y el punto final o terminal P2.

i. P111,-5, 4; P2-5, 7, -1
u =P1P2=P2-P1=-5, 7, -1-11,-5, 4
u =-5, 7, -1+-11, 5, -4
u =-16, 12, -5

ii. P16, 5, 8; P2 8,- 7, -3
u =P1P2=P2-P1=6, 5, 8-8,-7,-3
u =6, 5, 8+-8, 7, 3
u =2,- 12, -11

2. Si a =m,-12, 4 y a=13, halle el valor de m.a2=132⟺ m2+-122+42=132
⟹m2+144+16=169
m2=9⟺m2-32=0
⇒m+3m-3=0
∴m=-3 ∨ m=3

3. Halle un vector con punto inicial P2,-1,4 y que tenga la misma dirección que el vector u =7, 6, -3.





4. Sean u =1, 2, 3, v =2, -3, 1 y w =3, 2, -1. Halle las componentes de:

i. 3u-7v
3u-7v=31,2,3-72,-3,1
3u-7v=31,2,3+-14, 21,-7
3u-7v=3-13, 23,-4
3u-7v=-39, 69,-12ii. -2v-7w
-2v-7w =31,2,3-72,-3,1
-2v-7w =-4,6,-2 +-21,-14, 7
-2v-7w =-4,6,-2 +-21,-14, 7
-2v-7w =-25,-8, 5

iii. -w+v
-w+v=-3,2,-1+2,-3, 1
-w+v=-3,-2, 1+2,-3, 1
-w+v=-1,-5, 2


5. Sean u,v,w los vectores del ejercicio 4. Halle los escalares ∝, β, γ tales que ∝u+βv+γw=6, 14,-2.

Reemplazamos los vectores u,v,w en∝u+βv+γw=6, 14,-2
∝1, 2, 3+β2, -3, 1+γ3, 2,-1=6, 14,-2
∝+2β+3γ,2α-3β+2γ,3α+β-γ=6, 14,-2
Luego:
∝+2β+3γ=6…(1)2α-3β+2γ=14 …(2)3α+β-γ=-2 …(3)
restando 2y 3 obtenemos: ∝+4β-3γ=-16…(4)
ahora 4lo sumamos con 1:
∝+4β-3γ=-16 +
∝+2β+3γ=6
2β-6γ=-22
β-3γ=-11
β= 3γ-11…(5)
ahora a 1 lo multiplicaremos por 2 y lo restaremos con (2):
2∝+4β+6γ=12 -
2α-3β+2γ=14
7β+4γ=-2reemplazando el resultado obtenido en 5 obtendremos los escalares:
∝=1 β= -2 γ=3

6. Determinar las coordenadas de las siguientes vectores:


v=2
componentes de v=(-1,3)

v=1
componentes de v=(12,-32)


7. Dados P=-1,3 y B=-2,2, halle v∈R2, talque: v∥PB y v=22

PB=B-P=-2, 2--1, 3=-2, 2+1,-3=-1,-1
v∥ PB=-1,-1⇔∋ λ ϵR v=λPB=λ-1,-1
v=-λ,-λPero,v=22 ⇔ v2= 8
⇔ (λ)2+(-λ)2=8
2λ2=8
λ2=4
λ=2 ∨ λ=-2
Luego: v=2, 2 y v=-2, -2


8. Sean u =1,-3, 2, v =1, 1, 0 y w =2, 2, 4. Hallar:
i) ww
ww=(2,2,-4)22+22+(-4)2=(2,2,-4)24=126 (2,2,-4)

i) 3u-5v+w
3u-5v+w=31,-3,2-51,1,0+(2,2,-4)
3u-5v+w=3,-9,6+-5,-5,0+(2,2,-4)
3u-5v+w=0,-12, 23u-5v+w=02+(-12)2+22=148=237
i) uu
uu=(16,16,-26)
uu=(16)2+(16)2+(-26)2=1


9. Si u =x+1,3x-2, v =1-x,x. Halle x para que u+5v sea párelo a 1,-7.
u+5v=x+1,3x-2+5(1-x, x)
u+5v=x+1,3x-2+(5-5x, 5x)
u+5v=6-4x, 8x-2
como 6-4x, 8x-2∥1,-7⇔6-4x1=8x-2-7
⇔ -42+28x=8x-2
20x=40
x=2

10. Determinar para que valores de ∝ los vectores u+ ∝v ; u- ∝v son perpendicularesentre sí, sabiendo que u=3 y v=5

u+ ∝v⊥u- ∝v⇔u+ ∝v,u- ∝v=0
⇔u,u+∝v,-∝v
⇔u2-∝-v,v

11. Si u=13, v=19 y u+v=24 , halle u-v

u+v2=u2+v2+2u,v
⇔242=132+192+2u,v
⇔u,v=23
Piden:
u-v2=u2+v2-2u,v
u-v2=132+192-2(23)
u-v2=169+361-46
u-v2=484
u-v=22
12. Los vectores u y v forman un ángulo α=60º; u=5, y v=8 , halle u+v ∧u-v




sabemos que: cosθ=u,vu.vLuego, u,v=cos60.u.v=1258=20
u,v=20
Finalmente:
u+v2=u2+v2+2u,v
u+v2=52+82+220
u+v2=25+64+40
u+v2=129
u+v=129
Asi mismo:
u-v2=u2+v2-2u,v
u-v2=52+82-220
u-v2=25+64-40
u-v2=49
u-v=7
13. Establezca la identidad: u+v2+u-v2=2u2+2v2

Desarrollando por partes:
u+v2=u2+v2+2u,v…1 +
u-v2=u2+v2-2u,v…2

Sumando 1y 2: u+v2+u-v2=2(u2+v2)
Se cumple laidentidad:u+v2+u-v2=2u2+2v2

14. En la figura, hallar v, talque: v=5

v=5
componentes de v=(-52,532)

15. En la figura, hallar el vector v.
(x,y)



16. Probar que, u.v=u,v=uv⇔u=λv ; λ>0














17. Sean u, v dos vectores no nulos, tales que: u-v=63, u=3, y v=6 , cosθ=-12, donde θ es el ángulo entre u y v . Halle u+v...