algebra lineal

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Algebra Lineal
Jorge Luis Arocha
versi´ n compilada el
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31 de enero de 2012

Jorge Luis Arocha P´ rez
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Instituto de Matem´ ticas
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Universidad Nacional Aut´ noma de M´ xico
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e
M´ xico D.F. 04510
e

BibTeX:
@textbook{ArochaLA
AUTHOR = {Arocha, Jorge L.}
TITLE = {\’Algebra Lineal}
YEAR = {2011}
NOTE = {Available at combinatoria.matem.unam.mx}
}

Mathematics SubjectClassification 2000: 00–01, 12–01, 15–01

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°2011 Jorge Luis Arocha P´ rez
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Permitida la reproducci´ n para uso individual y no comercial.
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Todos los dem´ s derechos est´ n reservados.
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Introducci´ n
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Este libro lo escrib´ como texto b´ sico para el curso de “Algebra Lineal” para estudiantes
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de Licenciatura que he impartido por muchos a˜ os en la Facultad de Ciencias dela Univer­
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sidad Nacional Aut´ noma de M´ xico.
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Se presupone que los estudiantes hayan cursado ya las materias de “Algebra superior” y
“Geometr´a Anal´tica” o sea tengan ciertos conocimientos sobre matrices, vectores, polino­
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mios, n´ meros complejos, etc.
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El objetivo es desarrollar el algebra lineal sobre campos arbitrarios pero se hace enfasis
en los reales, loscomplejos y los residuos m´ dulo un n´ mero primo. Despu´ s de una intro­
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ducci´ n corta a la teor´a de campos se estudian los espacios vectoriales, las transformaciones
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lineales, los determinantes y finalmente los teoremas de descomposici´ n de operadores.
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Por ahora, este libro no contiene pr´ cticamente nada de transformaciones bilineales, pro­
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ductos escalares, espaciosduales, ortogonalidad, tensores etc. En mis planes est´ escribir
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una segunda parte o aumentar este libro con cap´tulos sobre estos temas.
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El material que comprende este libro es demasiado para un semestre y usualmente yo
imparto en un semestre de los cap´tulos I—IV aquellas secciones que no est´ n marcadas
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como avanzadas. Un segundo semestre podr´a comenzar con las secciones depolinomios so­
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bre campos, continuar con la descomposici´ n de operadores lineales y terminar con aquellos
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temas que ya se˜ al´ , faltan aqu´. Otras secciones las escrib´ porque me parecieron un buen
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material de lectura complementaria para los alumnos curiosos.
Este libro es inusualmente colorido y visualmente agresivo. La raz´ n de esto es que
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cuando estaba en el papel dealumno yo prefer´a estudiar por las libretas de notas de mis
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compa˜ eras de clase. Se me hac´a muy f´ cil memorizar la imagen completa de una p´ gina
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llena de rayas, ores, corazones etc. y dentro de todo esto, las matem´ ticas. La idea es que
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cada p´ gina luzca visualmente diferente. He tratado dentro de lo posible, lograr esto.
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Los caracteres de matem´ ticas est´ n en uncolor diferente. El texto y las secciones avan­
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zadas est´ n marcados con un birrete. Uso unos lentes para marcar aquello que el lector no
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debe dejar pasar. Errores comunas que cometen los que no est´ n familiarizados con el mate­
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rial est´ n marcados con calaveras. Los teoremas est´ n resaltados visualmente, etc.
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Se incluyen m´ s de un centenar de ejercicios. Los ejerciciosm´ s notables consisten en
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material adicional que un estudiante de matem´ ticas o f´sica debe conocer tarde o temprano.
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Las soluciones de los ejercicios no rutinarios se dan al final del libro.
He compilado un glosario de t´ rminos que es a la vez un ´ndice del libro y un diccionario
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de los conceptos introducidos y/o usados.
Finalmente, incluyo una gu´a de estudio. De estagu´a yo escojo las preguntas para los
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ex´ menes. Esto representa una ventaja enorme para los estudiantes ya que una de las dificul­
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tades m´ s importantes de ser estudiante es comprender que es lo que se espera de ellos.
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Jorge Arocha
M´ xico D.F. Diciembre de 2010
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IV

Cap´tulo 1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....