Algebra lineal

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520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
Primer Semestre, Universidad de Concepción

CAPITULO 8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
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Sistemas
Definición: Sistema Lineal de Ecuaciones. Sea K el cuerpo R o C. Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas en K es un conjunto de m ecuaciones lineales en que cada unatiene a lo más n incógnitas, esto es, a11 x1 + a21 x1 + . . . a12 x2 + a22 x2 + . . . ··· ··· +a1n xn = +a2n xn = . . . b1 b2 . . .               

(S)

am1 x1 + am2 x2 + · · ·

+amn xn = bm

donde, para i ∈ {1, · · · , m} y j ∈ {1, · · · , n} , aij ∈ K son los coeficientes del sistema, bi ∈ K son los términos independientes del sistema y x1 , · · · , xn son las incógnitas delsistema.
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Sistemas
Observación. El sistema (S) se puede escribir de la siguiente forma:  a  11   a21   .  .  . am1 a12 a22 . . . am2 .... .... .... a1n a2n . . .                 x1 x2 . . . xn          b1  ,

.... amn

    =   

  b2   .  .  .  bm

A=matriz de coeficientes

X=inc´gnitas o

B=t´rminos independientes e

lo que nos dala forma matricial: AX = B . Si b1 = b2 = · · · = bm = 0, entonces el sistema se dice homogéneo, en caso contrario se dice no homogéneo.
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Sistemas
Definición. Decimos que la n-upla (y1 , · · · , yn )t ∈ Kn (= Kn×1 ) es una solución del sistema (S), si al reemplazar ordenadamente cada xi por yi con i ∈ {1, · · · , n}, se satisfacen simultáneamente las m igualdades del sistema (S). Llamaremosconjunto solución del sistema (S), al conjunto formado por todas las soluciones del sistema.

Definición. El sistema (S) se dice: INCOMPATIBLE, si no tiene solución. COMPATIBLE DETERMINADO, si tiene única solución. COMPATIBLE INDETERMINADO, si tiene más de una solución.
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Sistemas
Definición. Dado el sistema (S), AX = B, llamaremos matriz ampliada del sistema a la matriz (A|B) de orden m ×(n + 1) Teorema (existencia de soluciones)

El sistema (S) es compatible si y sólo si r(A) = r(A|B). Teorema (unicidad de soluciones)

Supongamos que el sistema (S) de m ecuaciones y n incógnitas es compatible y que r(A) = n. Entonces la solución del sistema es única. Teorema (multiplicidad de soluciones) Si el sistema (S) es compatible y r =: r(A) < n, entonces a lo más r incógnitas seexpresan en términos de las n − r restantes.
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Sistemas
Observación. Consideremos el sistema (S), AX = B. Si F representa a cualquiera de las tres operaciones elementales por filas, entonces F (A)X = F (B). Si (A|B) es equivalente por filas a la matriz (A1 |B1 ), entonces el sistema A1 X = B1 , es compatible si y sólo si el sistema (S) es compatible. En este caso, el conjunto solución de ambossistemas es el mismo.

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Sistemas

Un caso particular de lo anterior es la sucesión de operaciones elementales que transforman la matriz A en la matriz identidad. Aplicando las mismas operaciones a la matriz ampliada se obtiene el Método de eliminación de Gauss-Jordan. Notar que el sistema homogéneo AX = Θ siempre tiene solución. Además el sistema homogéneo AX = Θ tiene solución no nula si ysólo si r(A) < n (n es el número de incógnitas del sistema).

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Sistemas
Ejemplo. Para el sistema: x1 −x1 5x1 la matriz ampliada es  1 −2 3 0 4 3   1 0 0 1 0 0 1 1  − 2x2 + + 3x2 + 4x3 = 2x3 = 3 4 ,

− 6x3 = −1

  −1  5

   ∼  0 2 4   −6 −1 0

 1 ,  1

de donde la solución del sistema original es X = (1 , 1 , 1)t .
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Sistemas
Sistemas de Cramer. Si A ∈ Mn (K),con |A| = 0, entonces la matriz

A es inversible y el sistema A · X = B, de n ecuaciones y n incógnitas, tiene solución única X = A−1 · B . Recordando que A−1 =
1 |A| adj(A) 1 |A|

=

(cij )T 1≤i,j≤n , obtenemos la:

Regla de Cramer. Si A ∈ Mn (K) con |A| = 0, entonces la única solución del sistema AX = B, B = (b1 , b2 , ..., bn )t es X = (x1 , ..., xn )t , con 1 xi = |A|
n

cki bk ,...
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