Algebra lineal

Facultad de Ingeniería y Tecnología.
Introducción al Cálculo

I Unidad: CONJUNTOS NUMÉRICOS.

1.1. Operatoria en los diferentes conjuntos numéricos (IN, Z, Q, I, IR)
Teniendo presente que un conjunto es una colección de objetos y un número es un ente (algo intangible, por decirlo asi) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas, vamos a definir losconjuntos numéricos.
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales.
Los conjuntos se pueden clasificar en : Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y reales.
La figura siguiente describe el conjunto de los números reales y como se relaciona con el resto de los conjuntos.
[pic]

|IN( Z ( Q ( IR |

Numeros naturales:
   Los numeros naturales son aquellos que normalmenteutilizamos para contar. Son aquellos numeros  positivos y sin parte decimal.
Conjunto de enteros positivos[pic] IN [pic].
Los tres puntos suspensivos significan que el listado de elementos continúa sin fin, aún cuando se sabe cuáles son los elementos.

Propiedades de los Números naturales:
Propiedad conmutativa de la adición: [pic]
Propiedad Asociativa de la adición: [pic]
Propiedad conmutativa de la multiplicación: [pic]
Propiedad Asociativa de la multiplicación: [pic]
Propiedad  distributiva: [pic]

Operatoria en el conjunto de los números naturales
Factores: Los factores son elementos de la multiplicación; por lo tanto, llamaremos factores de un número, al par de numerales que tienen como producto a ese número.
Observación:
- El conjunto de los factores es finito.- El número 1 es factor de todos los números.


Mínimo Común Múltiplo: El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

Algunos subconjuntos destacados de IN:
Conjunto de los Números Primos: Un número es primo si es divisible por 1 y por si mismo.
Conjunto números primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,23, 29, 31, . . . }
ConjuntoNúmeros Compuestos: Un número es compuesto si admite mas de dos divisores.
Conjunto números compuestos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, . . . }

|IN = {1} ( {Primos} ( {Compuestos} |

Múltiplos de un número natural: los múltiplos de un número natural k se definen como:
M(k) = { k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 7k, . . . }
Ejemplo: Los múltiplos de 3 son:
M(3) = {3, 6, 9,12, 15, 18, . . . }
Divisores de un número natural: Los los divisores de un número natural corresponde a todos los factores de un número:
Ejemplo: Los divisores de 60 son:
D(60) = {1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Numeros enteros: El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corresponde al conjunto formado por la unión de los numeros naturales, sus opuestos, y el cero,es decir, los numeros enteros positivos, negativos y el cero.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

|Z = IN ( IN- ( {0} |


En el conjunto de los números enteros se pueden realizar las operaciones de adición y multiplicación señaladas para el conjunto de los números naturales, y además se agrega la sustracción:
Numeros racionales:
   Son todos aquellos que se pueden escribir enforma de fracción. Incluyen los naturales y enteros.
Esto es, [pic]
 
Operatoria en el conjunto de los números racionales:
Adición: [pic]
Multiplicación: [pic]
División: [pic]
Numeros irracionales:
   Son los numeros que poseen infinitas cifras decimales no periódicas.
                        ( = 3,141592354....
                         e = 2,7182818....
Numeros reales:
    Incluyentodos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real.
   
1.2. Razones y proporciones.

¿Qué es una Razón?
Es uno de los conceptos mas usados en la vida cotidiana. La velocidad que transita un automóvil, la inclinación del techo de un edificio, etc. Las razones son una manera de comparar dos números o cantidades.
|Razón: Es el...