Algebra Lineal
Páginas: 3 (583 palabras)
Publicado: 6 de mayo de 2012
Desigualdad triangular
Desigualdad del triángulo.
El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de laslongitudes de los otros dos.
Espacios vectoriales normados
El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:
En todoespacio vectorial normado |
Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.
En el caso particular de considerar la recta realcomo espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:
Para cualquiera dos números a y b, |
cuya demostración es:
Demostración (caso real)Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:
Sumando ambas inecuaciones:
A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en la línea de arriba queda:Desigualdad triangular para un espacio n-dimensional
Está dada por la expresión:
donde m y n son números naturales, y xi números reales.
Demostración
Ahora vamos a demostrar que la expresiónanterior es cierta para cualquier n natural utilizando el método de Inducción matemática. (Supondremos que para n=2 ya está demostrado en inicio del artículo)
1) Para n=1:
(si bien son iguales, es ciertoque un número es menor o igual a sí mismo)
2) Ahora asumimos que se cumple para n=k, con k un número natural mayor que uno.
* y probamos que la desigualdad también se cumple para n=k+1.Partimos de la siguiente expresión:
* como es un número y xk + 1 es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para n=2
* luego, como | xk + 1 | es siempre positivo y hemos asumido que secumple para n=k podemos afirmar que:
* juntando el termino k+1 con la sumatoria nos queda:
* Partimos de , nos movimos mediante pasos lícitos por igualdades y desigualdades del tipo...
Desigualdad del triángulo.
El teorema de desigualdad triangular afirma que en cualquier triángulo la longitud de uno de los lados no puede nunca superar a la suma de laslongitudes de los otros dos.
Espacios vectoriales normados
El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:
En todoespacio vectorial normado |
Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.
En el caso particular de considerar la recta realcomo espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:
Para cualquiera dos números a y b, |
cuya demostración es:
Demostración (caso real)Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:
Sumando ambas inecuaciones:
A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en la línea de arriba queda:Desigualdad triangular para un espacio n-dimensional
Está dada por la expresión:
donde m y n son números naturales, y xi números reales.
Demostración
Ahora vamos a demostrar que la expresiónanterior es cierta para cualquier n natural utilizando el método de Inducción matemática. (Supondremos que para n=2 ya está demostrado en inicio del artículo)
1) Para n=1:
(si bien son iguales, es ciertoque un número es menor o igual a sí mismo)
2) Ahora asumimos que se cumple para n=k, con k un número natural mayor que uno.
* y probamos que la desigualdad también se cumple para n=k+1.Partimos de la siguiente expresión:
* como es un número y xk + 1 es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para n=2
* luego, como | xk + 1 | es siempre positivo y hemos asumido que secumple para n=k podemos afirmar que:
* juntando el termino k+1 con la sumatoria nos queda:
* Partimos de , nos movimos mediante pasos lícitos por igualdades y desigualdades del tipo...
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