Algebra lineal

3.5 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Representa rectas y planos en el espacio.
Rectas y Planos en el Espacio

Primero hay que comprender como se forma un punto, una recta y un plano en el espacio

al decir espacio me refiero a un sistema de ejes ordenados con 3 dimensiones es decir 3d.







¿COMO SE FORMA UN PUNTO?



Un punto en el espacio se forma con 3 coordenadas, una enel eje X, otra en él Y y otra en el z ósea matemáticamente lo veríamos así, llamando al punto A= (a1, a2, a3), a1 perteneciendo al eje X, a2 al Y y a3 al z

¿COMO SE FORMA UNA RECTA?



Una recta es fácil, si tenemos 2 puntos, siempre va a haber una recta que pasa por ellos (siempre y cuando esos 2 puntos no sean el mismo).

¿COMO SE FORMA UN PLANO?



Un plano se forma con 3puntos no alineados y que ninguno se repita.

ECUACIONES IMPLICITAS

RECTA

con 2 puntos A (a1, a2, a3) y B (b1, b2, b3)

(x-a1)/(b1-a1)=(x-a2)/(b2-a2)=(x-a3)/(b3-a3) ----> Ec Implícita de la recta

PLANO

Ax + By + Cz + D=0

Y con los puntos dados se calcula así:





ECUACIONES PARAMETRICAS

RECTA

x=a1+Ñ(b1-a1)
y=a2+Ñ(b2-a2)
z=a3+N(b3-a3)

con Ñ variante!PLANO

x=a1+Ñ(b1-a1)+U(c1-a1)
y=a2+Ñ(b2-a2)+U(c2-a2)
z=a3+N(b3-a3)+U(c3-a3)

con Ñ y U variante







INTRODUCCIÓN
4.1 Define los Espacios Vectoriales
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque puedatratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de unespacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre sería un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjuntode vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negadode cada elemento.
Cuerpo:
Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.


Sub cuerpo:
Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y lasoperaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS

4.2 Establece las propiedades básicas de los espacios vectoriales
Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ2 y de ℜ3:
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u + v)+ w = u + (v + w)
• Conmutativa: v +u = u + v.
• Existe un elemento...