algebra lineal
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Publicado: 23 de noviembre de 2013
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.
BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base enRn.
En Rn se define
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.
EJEMPLO: base canonica para M22
Se vio que generan a
, entonces es evidentemente que . Así,estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.
TEOREMA: sies una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que
Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de labase.
Es decir, suponga que
Sea dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base,todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)
TEOREMA: suponga que dimV=n. si
Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si
Así, y el teorema queda demostrado.
TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espaciovectorial V tienen el mismo numero de vectores.
Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares
no todos cero, tales que (2)
Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)
La ecuación (3) se puede reescribir como
Pero como son linealmente independientes, se debe tener (5)
El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitasy como m>n, el teorema diceque el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.
Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra lineal.DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dimV.
EJEMPLO: ladimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.
TEOREMA: suponga que dimV=n. si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.
Seaentonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrarconstantesno todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.
TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)
Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior,...
Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.
BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base enRn.
En Rn se define
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.
EJEMPLO: base canonica para M22
Se vio que generan a
, entonces es evidentemente que . Así,estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.
TEOREMA: sies una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que
Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de labase.
Es decir, suponga que
Sea dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base,todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)
TEOREMA: suponga que dimV=n. si
Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si
Así, y el teorema queda demostrado.
TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espaciovectorial V tienen el mismo numero de vectores.
Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares
no todos cero, tales que (2)
Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)
La ecuación (3) se puede reescribir como
Pero como son linealmente independientes, se debe tener (5)
El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitasy como m>n, el teorema diceque el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.
Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra lineal.DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión V se denota por dimV.
EJEMPLO: ladimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.
TEOREMA: suponga que dimV=n. si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.
Seaentonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrarconstantesno todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.
TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)
Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior,...
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