Algebra Lineal

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinadapor sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente,característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
Definiciones
Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación delas anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
* Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se venmultiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.[1]
* El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
* Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
* La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propioasociado.
* El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio deuna dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que

entonces decimos que v es un vector propiodel operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Zes un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.
Casos de interés especial
Intuitivamente, para las transformaciones lineales del espacio de dos dimensiones , los vectores propios son:
* rotación: ningún vector propio de valores reales (existen en cambio pares valor propio, vector propio complejos).
* reflexión: los vectores propiosson perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.
* escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.
* proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección...