Algebra lineal

COMO CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
A · A-1  = A-1 · A = I
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:
1º. Cálculo de la matriz inversa por determinantes








Ejemplo


1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.



3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.



4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.




2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matrizinversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria



La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.



2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad,que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

F2 - F1





F3 + F2


F2 - F3


F1 + F2


(-1) F2


La matriz inversa es:



Propiedades de la matriz inversa

(A · B)-1  = B-1 · A-1
(A-1)-1  = A
(k · A)-1  = k-1 · A-1
(A t)-1  = (A -1)t










Espacios y subespacios vectoriales y sus propiedades
Elespacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. Se sabe que el espacio vectorial Rn es cerrado bajo estas operaciones; las suma de dos vectores en Rn pertenece a Rn y la multiplicación por un escalar en Rn también pertenece a Rn. El espacio vectorial Rn también posee otras propiedadesalgebraicas. Por ejemplo, se sabe también que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos bajo la adición:
u + v = v + u
u + (v + w) =(u + v) + w
En esta parte se analizan éstas y otras propiedades algebraicas de Rn. Se formula un conjunto de axiomas basados en las propiedades de Rn. Cualquier conjunto que satisfaga estos axiomas poseerá propiedades algebraicas similares a las del espaciovectorial Rn. A dicho conjunto se le dará el nombre de espacio vectorial y a sus elementos el nombre de vectores. La ventaja de este enfoque consiste en el hecho de que los conceptos y los resultados relacionados con el espacio vectorial Rn también se aplican a otros espacios vectoriales.
DEFINICIÓN.
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, cuyas operaciones de adicióny multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones:
AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.
1. Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma).
2. Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z)
(Ley asociativa de la suma de vectores)
3. Existe un vector 0 Є V tal que para todo x Є V, x + 0 = 0 + x = x
4. Si x Є V, existe un vector–x en V tal que x + (–x) = 0
(–x se llama inverso aditivo de x)
5. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x.
(Ley conmutativa de la suma de vectores).
6. Si x Є V y α es un escalar, entonces αx Є V
(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
7. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
(Primer ley distributiva)
8. Si x Є V y α y β son escalares, entonces(α + β)x = αx + βx
(Segunda ley distributiva)
9. Si x Є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x
(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)
10. Para cada vector x Є V, 1x = x.
 
Ejemplo 1.
Espacios vectoriales de matrices.
Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y...