Algebra lineal

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HISTORIA DEL ALGEBRA LINEAL

Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal se han encontrado en el documento matemático mas antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Libro de Calculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmes hacia el año 1650a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un “ibis" que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su primogénita aplicación a la agrimensura. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los noiniciados. Según el propio Ahmes, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de periodos más antiguos.
Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completación de cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cubicas y bicuadraticas, y sistemas de ecuacioneslineales.

Dos eventos cruciales en el desarrollo del algebra lineal son: el descubrimiento del sistema de los números complejos, como una extensión del sistema R formado por los números reales, junto con las operaciones usuales de suma y multiplicación, y la primera prueba del llamado teorema fundamental del algebra, el cual afirma que cada polinomio no constante con coeficientes complejos tiene almenos una raíz compleja. Es bien conocido que este teorema es equivalente a que cada polinomio no constante con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de factores lineales y cuadráticos. Sobre este último resultado, el plural genio de Gauss le brindaría tal importancia que llegaría a ofrecer hasta cuatro demostraciones, siendo la primera de estas su tesis doctoral de 1799, aunquese sabe que el conocía la prueba desde octubre de 1797. La segunda y tercera prueba fue publicada en 1816 y la cuarta en 1849.

El algebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector yespacio vectorial.
A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Recordemos que hasta el siglo XVIII el algebra era, esencialmente, el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario. El matemático y filosofo francés, y uno de los iniciadores de la Enciclopedia, D'Alembertdescubre que las soluciones de un sistema Ax = b forman una variedad lineal. Asimismo, Euler, Lagrange y el propio D'Alembert se dan cuenta que la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 es una combinación lineal de algunas soluciones particulares.

En 1843, el, matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) descubre los Quaternions como el primer y único anillo de división noconmutativo sobre los números reales, la unicidad fue probada por George Frobenius (1849-1917). Años antes, en 1863, Karl Weierstrass (1815-1897) había probado que el cuerpo de los números complejos es el único cuerpo conmutativo sobre los números reales.
En esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann GÄunther Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y de espacio vectorial,como una axiomatizacion de la idea de vector" manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII, un hecho que represento la génesis del Calculo vectorial y de la Matemática moderna. Además, considerado el maestro del algebra lineal, Grassmann introduce el producto geométrico y lineal, siendo el primero de estos equivalente a nuestro producto vectorial. Asimismo, introduce las...
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