Algebra Lineal

UNIVERSIDAD CENTROOCIDENTAL ’LISANDRO ALVARADO’ DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOG´ IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ ´ INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL

Por: Ronald Guti´rrez e

Barquisimeto 2009

Cap´ ıtulo 1 VECTORES EN Rn
1.1. Vectores

Definici´n 1.1.1 (Definici´n algebraica de vector) o o Se define como vector de n componentes a un conjunto ordenado de n n´meros reales x1 , ..., xnescritos de la forma u (x1 , ...,k , ..., xn ) (vector fila de n componentes) ´ de la forma x o  x1  .   .  (vector columna de n componentes) . xn Generalmente trabajeremos los vectores escritos de la forma (x1 , ..., xk , ..., xn ) A xk lo llamaremos k-´sima componente del vector e Ejemplo 1.1.1 (3, 4, −8, 0), (2, 3, 4) y (1/2) son vectores de cuatro, tres y una componente respectivamenteDefinici´n 1.1.2 Dos vectores de n componentes X = (x1 , ..., xn ), Y = o (y1 , ..., yn ) son iguales, denotado por X = Y , si xk = yk para todo k ∈ {1, ..., n} ( son iguales si lo son componente a componente), en caso contrario decimos que los vectores son distintos (X = Y ) Seg´n esta definici´n los vectores (1, 2) y (2, 1) son distintos u o Definici´n 1.1.3 Definimos el conjunto Rn , como el conjuntoformado por o todos los vectores de n componentes 1

As´ por ejemplo (1, 2, 3) ∈ R3 y (1, 0, −2, 3, 7) ∈ R5 ı Para dibujar puntos en R, R2 y R3 se sigue el mismo procedimiento del c´lculo a Definici´n 1.1.4 Dados A = (a1 , ..., an ), B = (b1 , ..., bn ) en Rn y α ∈ R o definimos: 1. la suma de A m´s B, denotada por A + B, como el vector de Rn a dado por A + B = (a1 + b1 , ..., an + bn ) 2. elproducto del escalar α por A, denotado por αA, como el vector de Rn dado por αA = (αa1 , ..., αan ) Ejemplo 1.1.2 Si A = (1, 4, −5) y B = (2, 0, 7), entonces A + B = (1, 4, −5) + (2, 0, 7) = (1 + 2, 4 + 0, −5 + 7) = (3, 4, 2) (−5)A = (−5)(1, 4, −5) = (−5 · 1, −5 · 4, −5 · (−5)) = (−5, −20, 25) Observaci´n 1.1.1 o 1. El vector nulo de n componentes, es aquel cuyas componentes son todas iguales a cero, sedenota como On (o como O cuando se sobrentiende su n´mero de componentes) u 2. Se escribir´ en ocasiones −αA en lugar de (−α)A, para facilidad de a escritura, as´ por ejemplo escribiremos −A, en lugar de (−1)A ı Teorema 1.1.1 (Estructura lineal de Rn ) ∀A, B, C ∈ Rn , ∀α, β ∈ R se cumple: 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A= A (elemento neutro) 4. A + (−A) = −A + A = O (elemento sim´trico) e 5. α(A + B) = αA + αB (distributiva) 6. (α + β)A = αA + βA (distributiva) 2

7. α(βA) = β(αA) = (αβ)A 8. 1.A = A; 0.A = O; αO = O 9. A + B = A + C ⇒ B = C (ley de cancelaci´n) o 10. αA = O ⇒ α = 0 ∨ A = O Demostraci´n: Demostraremos 2 y 9, dejando el resto como ejercicos al o lector. Tambi´n le pedimos al lector quejustifique los pasos en las siguientes e demostraciones Sean A = (a1 , ..., an ), B = (b1 , ..., bn ) C = (c1 , ..., cn ) en Rn . Demostremos 2 en primer lugar (A + B) + C = A + (B + C) = = = = = = = Probemos ahora 9 A+B =A+C ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ −A + (A + B) = −A + (A + C) (−A + A) + B = (−A + A) + C O+B =O+C B=C ((a1 , ..., an ) + (b1 , ..., bn )) + (c1 , ..., cn ) (a1 + b1 , ..., an + bn ) + (c1 , ..., cn ) ((a1 + b1) + c1 , ..., (an + bn ) + cn ) (a1 + (b1 + c1 ), ..., an + (bn + cn )) (a1 , ..., an ) + (b1 + c1 , ..., bn + cn ) (a1 , ..., an ) + ((b1 , ..., bn ) + (c1 , ..., cn )) A + (B + C)

El vector nulo es el unico vector que cumple con 3; por otro lado para un ´ vector A, −A es el unico vector que cumple con 4 y por esto se le llama ´ inverso sim´trico de A e Las propiedades distributivas se puedengeneralizar como sigue: (α1 + ... + αk )A = α1 A + ... + αk A α(A1 + ... + Ak ) = αA1 + ... + αAk 3

Ejemplo 1.1.3 Si A = (1, 1/2, 3, 7), B = (2, 1/3, −4, 0) Y C = (1, 1, 1, 1). Encuentre −(2A − 6(A − B)) + (4A + C) Sin el teorema anterior, este c´lculo ser´ un poco largo y tedioso, pero veamos a ıa como utilizando diversas propiedades el c´lculo resulta m´s sencillo a a −(2A − 6(A − B))...