Algebra Lineal

GUIA DE EJERCICIOS RESUELTO
CLASE PRESENCIAL DEL SÁBADO

I. Sean:
A=2-13045-214; B=8-3-50124-76; C=0-23174359; a=4; b=-7
Demuestre que: (a + b)B + (aC)T = aB + bB + aCT
Solución: Las matrices se designan con letras mayúsculas y los escalares con letras minúsculas. Entonces, procedemos a demostrar el primer término de la desigualdad:
(a + b) = 4 + (-7) = -3 ⇒ (a + b) =-3
En este caso la operación es la multiplicación de un escalar por una matriz, se procede a multiplicar el escalar (constante) por cada uno de los elementos de la matriz:
(a + b)B = -38-3-50124-76=-38-3-3-3-5-30-31-32-34-3-7-36
(a + b)B = -249150-3-6-1221-18
(aC)= 40-23174359=404-243414744434549
(aC)= 0-81242816122036 ⇒ (aC)T=0412-82820121636
(a+b)B + (aC)T=-24+09+415+120+-8-3+28-6+20-12+1221+16-18+36
(a+b)B + (aC)T= -241327-8251403718

Ahora demuestro el Segundo término de la desigualdad:
aB = 4 8-3-50124-76= 484-34-5404142444-746
aB=32-12-2004816-2824
bB = -7 8-3-50124-76= -78-7-3-7-5-70-71-72-74-7-7-76
bB=-5621350-7-14-2849-42
C=0-23174359 ⇒ CT= 013-275 349
aCT= 4 013-275 349=4041434-24745434449
aCT= 0412-82820 121636aB + bB + aCT = 32+-56+0-12+21+4-20+35+120+0+-84+-7+288+-14+2016+-28+12-28+49+1624+-42+36
aB + bB + aCT = -241327-82514 03718
Por lo tanto queda demostrado que: (a+b)B+(aC)T=aB+bB+aCT= -241327-82514 03718
II. Determine si la siguiente matriz es: triangular, diagonal, simétrica o antisimétrica, ortogonal, ideempotente, unipotente, nilpotente, estocástica o doblemente estocástica.A=121414141858145818
* Triangular Superior
a) Triangular
* Triangular Inferior.

* Triangular Superior: Una matriz cuadrada A= (aij) es triangular superior si todos los elementos de A situados debajo de su diagonal principal son nulos. Entonces:

A=121414141858145818
Luego, la matriz A no es triangular superior debido a que los elementos que están ubicados por debajo de ladiagonal principal son distintos de cero (a21=a31=a32=0)
* Triangular Inferior: Una matriz cuadrada A= (aij) es triangular inferior si todos los elementos de A situados por encima de su diagonal principal son nulos. Entonces:

A=121414141858145818
Luego, la matriz A no es triangular inferior debido a que los elementos que están ubicados por encima de la diagonal principal son distintos decero (a12=a13=a23=0)
Por lo tanto, se concluye que la matriz A no es triangular ya que los elementos que están ubicados por encima y debajo de la diagonal principal son distintos de cero.
b) Diagonal:
Una matriz cuadrada A=(aij) es diagonal si todas sus entradas no diagonales son nulas.
A=121414141858145818
Se concluye que la matriz A no es diagonal debido a que sus entradas no diagonalesson distintas de cero (a12=a13=a21= a23=a31=a32=0).
c) Simétrica o Antisimétrica.
Una matriz cuadrada A= (aij) es simétrica si A=AT. Entonces:
A=121414141858145818 ⇒ AT=121414141858145818
Luego, A es simétrica debido que la traspuesta de la matriz A es exactamente igual a la matriz original.
Una matriz cuadrada A= (aij) es antisimétrica si A=-AT. Entonces, la matriz A no esantisimétrica.
Observación: Una matriz cualquiera es simétrica o antisimétrica, Nunca las dos condiciones a la vez.
d) Ortogonal
Una matriz A= (aij) es ortogonal cuando AAT=ATA=Imxn (Matriz Identidad)
AAT=121414141858145818121414141858145818= 3851651651615327325167321532
AAT=3851651651615327325167321532
El producto entre matrices se efectúa de la siguiente manera:AAT=121414141858145818121414141858145818
Paso I: Para la primera fila de A y primera columna de AT
a11=121414121414=1212+14141414
a11=121414121414=14+116+116=38
Paso II: Manteniéndonos en la primera fila de A y pasamos ahora a la segunda columna AT:
a12=121414141858=1214+14181458
a12=121414141858=18+132+532=516
Paso III: Manteniéndonos en la primera fila de A y pasamos ahora a la tercera columna AT:...