algebra lineal

Álgebra Lineal
Ruth Cueva - Felipe Navas - José Luis Toro
Profesores de la Escuela Politécnica Nacional

Edición general:
Juan Carlos Trujillo

Editores:
Fabián Barba, Juan Carlos Trujillo
Profesores de la Escuela Politécnica Nacional

Quito - Febrero 2009

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Matrices
Determinantes
Sistemas lineales
por Ruth Cueva
Edición: Fabián Barba
Revisión: Juan Carlos Trujillo

5Objetivos
El objetivo general de esta parte es:
Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes
reales de orden 4 por 4 a lo más, utilizando las propiedades básicas de las
matrices y de los determinantes, a un nivel reproductivo.
Para alcanzar el objetivo general, se proponen los siguientes objetivos específicos:
1. Identificar los diferentes tipos de matrices apartir de su definición a un nivel de
familiarización.
2. Calcular una matriz escalonada reducida por filas a partir de una matriz dada,
mediante operaciones elementales de fila, a un nivel reproductivo.
3. Resolver problemas con elementos matriciales usando las operaciones de suma de
matrices, multiplicación de un escalar con una matriz y la multiplicación entre matrices, a un nivelproductivo.
4. Determinar la inversa de una matriz de orden 4 por 4 a lo más, a partir de las
propiedades básicas de las operaciones elementales de fila a un nivel reproductivo.
5. Identificar las propiedades fundamentales del determinante de una matriz de orden
n, mediante las operaciones elementales de fila y la definición a un nivel reproductivo.
6. Calcular el valor de un determinante de unamatriz de orden n, usando sus propiedades y la definición a un nivel reproductivo.
7. Calcular la matriz inversa de una matriz de orden n a partir de su definición y de
las propiedades de los determinantes a un nivel reproductivo.
8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes reales hasta de
orden 4 × 4, a partir de las operaciones elementales de fila o de las propiedadesde
los determinantes a un nivel reproductivo.

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Matrices

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1.1 Definiciones
En este libro, utilizaremos In para representar el conjunto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Es decir:
In = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n} = {1, 2, 3, . . . , n}.

Definición 1.1 (Matriz) Sean m ∈ N y n ∈ N. Una matriz A sobre un campo K es una función
A definida por:

A : Im × In −→ K
(i, j) −→A(i, j) = aij .

(1.1)

Cada aij ∈ K se denomina elemento de la matriz A.

Como el conjunto Im × In tiene m × n elementos, la matriz A tiene m × n elementos,
los mismos que se disponen en un arreglo rectangular de sus elementos, dispuestos en
m filas y en n columnas de la siguiente forma:


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 

A=
(1.2)
. . . . . . . . . . . . . . . .  .am1 am2 · · · amn
Por esta razón, se dice que la matriz A es de orden m por n y se la representa por:
A = (aij )m×n .
El conjunto de las matrices de orden m por n es notado Mm×n . Si se quiere especificar que el conjunto de las matrices es sobre el campo de los números reales R o de los
números complejos C, se puede escribir Mm×n (R) o Mm×n (C), respectivamente. Así, la
expresión A ∈ Mm×n(C) nos dice que la matriz A es una matriz de orden m por n (m
filas y n columnas) y que sus elementos son números complejos.
Definición 1.2 (Igualdad de matrices) Dos matrices A = (aij )m×n y B = (bij )p×q son iguales
si y solo si:

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Matrices
1. m = p, n = q , y
2. aij = bij para todo i = 1, 2, . . . , m y todo j = 1, 2, . . . , n.

Es decir, dos matrices son iguales si y solo si sondel mismo orden y sus correspondientes elementos son iguales.
Ejemplo 1 Las matrices




5 −4 2
2 −1
A= 0
−3 −2 7

y




5 x 2
B = 0 2 y 
z −2 7

son iguales si x = −4, y = −1 y z = −3, ya que son del mismo orden y el resto de elementos
correspondientes son iguales entre sí.

Los nombres dados a las matrices que se definen a continuación aprovechan el hecho
de que...