Algebra Lineal

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´ IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´ IA.

´ BAIN036 ALGEBRA LINEAL PARA INGENIER´ IA Prueba Parcial II
Martes 27 de Diciembre de 2011

Alumno(a):.........................................................................Carrera...........Grupo.........
Debe responder una pregunta por hoja. Conteste enforma ordenada identificando la pregunta e item que corresponde. No se permite el uso de calculadora. Cada soluci´n debe llevar desarrollo y respuesta. o Debe justificar adecuadamente su respuesta. Tiempo: 90 minutos. 1.-(1,0 pts.) ........... 2.-(1,8 pts.) ........... 3.-(2,2 pts.) ........... 4.-(1,0 pts.) ...........

1. Dado: W = (1, 0, 1), (1, −1, 1), (0, 0, 1), (2, −1, 3) ≤ R3 Encontrar una basede W e indicar su dimensi´n. o Respuesta: Sean α, β, γ, δ ∈ R tal que α(1, 0, 1) + β(1, −1, 1) + γ(0, 0, 1) + δ(2, −1, 3) = (0, 0, 0)       α + β + 2γ = = 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 1 f3+2(−1) f1+2(−1) = 0 ⇔  0 −1 0 −1  − − −  0 1 0 1  − − −  0 1 0 1  ⇔ −β − δ − −→ − −→ f2(−1) α + β + γ + 3δ = 0 1 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 α = −δ β = −δ ∴ {(1, 0, 1), (1, −1, 1), (0, 0, 1), (2, −1, 3)} es Ld. ⇒γ = −δ δ=δ Para obtener un conjunto Li debemos eliminar el vector asociado al par´metro δ. a As´ {(1, 0, 1), (1, −1, 1), (0, 0, 1)} es Li y es una base de W . ı

2. En el espacio vectorial M2 (R), con producto interno dado por A, B = tr(B t A), consideremos a 1 1 a 0 a S = {A, B, C} ⊆ M2 (R), donde A = , B= , C= . 1 0 a 0 0 0 a) Para que valor(es) de a ∈ R el conjunto S es linealmentedependiente. Respuesta: Sean α, β, γ ∈ R tal que: α a 1 1 0 +β 1 a a 0 +γ 0 a 0 0 = 0 0 0 0

Forma 1:       aα + β = 0 a 1 0 1 a 0 1 a 0 f3+1(−a) 0 a  − −−→ ⇔ α + aβ + aγ = 0 ⇔  1 a a  −→  1 a a  − − −  0 f13 f2+1(−1) 2 0 α + aβ = 0 1 a 0 a 1 0 0 1−a Para que el conjunto sea Ld el sistema debe tener infinitas soluciones, luego 1 − a2 = 0 ⇔ (1 − a)(1 + a) = 0 ⇔ 1−a=0∨1+a=0 ⇔ a = 1 ∨ a = −1 ∨ ∨∨ ∨ a=0 a=0 a=0 a=0

Para que S sea Ld a ∈ {−1, 0, 1} Forma 2: el sistema de ecuaciones que se obtiene a partir de la combinaci´n lineal o = 0 = 0 = 0   a 1 0 Calculamos el determinante de su matriz asociada, el cual debe ser 0, A =  1 a a  1 a 0 |A| = 0 ⇔ a a a a 0 −1 1 a 1 0 ∨ ∨ ∨ ∨ = 0 ⇔ a − a3 = 0 Considerando aα + β α + aβ + aγ α + aβ

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

a(1 − a2 ) = 0 1 − a2 = 0 (1 − a)(1 +a) = 0 1−a=0∨1+a=0 a = 1 ∨ a = −1

a=0 a=0 a=0 a=0

Para que S sea Ld a ∈ {−1, 0, 1}

b) Determinar a de modo que A y B sean ortogonales. Respuesta: Para que A y B sean ortogonales A, B = 0 A, B = 0 ⇔ ⇔ tr ⇔ tr 1 a a 0 2a 1 a2 a a 1 1 0 a 1 1 0 =0 , 1 a a 0 =0 =0

⇔ 3a = 0 ⇔a=0 Luego, para que A y B sean ortogonales a = 0.
√

c) Dado a =

2 2 ,

determinar el ´ngulo entre B y C. aRespuesta: Sea θ el ´ngulo entre B y C a cos(θ) = B, C ||B||||C||
1 √ 2 2

⇔ cos(θ) = √ 2 2· ⇔ cos(θ) = ⇔θ=
π 3

1 /arccos() 2
π 3

El ´ngulo entre B y C es a

3. Dada T : R2 [x] ax2 + bx + c a) Probar que T es una transformaci´n lineal. o Respuesta: Sean ax2 + bx + c, dx2 + ex + f ∈ R2 [x], α ∈ R T (ax2 + bx + c + α(dx2 + ex + f )) = T (x2 (a + αd) + x(b + αe) + c + αf ) a + αd b+ αe b + αe c + αf a b d e = +α b c e f 2 + bx + c) + αT (dx2 + ex + f ) = T (ax = ∴ T (ax2 + bx + c + α(dx2 + ex + f )) = T (ax2 + bx + c) + αT (dx2 + ex + f ) ∴ T es transformaci´n lineal. o → M2 (R) a b b c

b) Determinar el conjunto generador para Im(T ) y Ker(T ). Respuesta: Im(T) Sea {1, x, x2 } base can´nica de R2 [x], ax2 + bx + c ∈ R2 [x] tal que o ax2 + bx + c = a(x2 ) + b(x) + c(1) /T ⇔ T (ax2 + bx + c) = aT (x2 ) + bT (x) + cT (1) ⇔ T (ax2 + bx + c) = a ∴ Im(T ) = 1 0 0 0 , 1 0 0 0 , +b 0 0 0 1 0 1 1 0 +c 0 0 0 1

0 1 1 0

Ker(T) Sea ax2 + bx + c ∈ R2 [x] tal que T (ax2 + bx + c) = ⇔ a b b c = 0 0 0 0 0 0 0 0

a=0 ⇒ b=0 c=0 ∴ Ker(T ) = {0}

c) ¿Es T invertible?. Justifique. Respuesta: Por lo obtenido en el punto anterior: N ul(T ) = 0 por lo que T es inyectiva. T...