Algebra Lineal

U N I D A D 4
ESPACIO VECTORIAL

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTLA GUTIERREZ |
Nombre de la asignatura: Algebra LinealCarrera: INGENIERIA EN ELECTRONICA Semestre: 3° SEMESTREProfesor: ROBERTO NAFATE GOMEZ Alumno: ALEXIS RIGOBERTO UTRILLA TAMAYO |
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, a 2 de Mayo del 2012 |

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Espacios Vectoriales.
4.1Definición de espacio vectorial.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

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ESPACIOS VECTORIALES4.1 Definición de espacio vectorial.

TEMAS INTRODUCTORIOS DE GEOMETRÍA
Su objetivo en esta unidad será identificar y manipular los principales objetos geométricos con los que se trabaja en el espacio como son planos, rectas, cilindros, superficies cuádricas y de revolución, tanto en las coordenadas rectangulares como  en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.

Panoramaconceptual sobre rectas y planos en el espacio
Al trabajar en el espacio ¿cuáles son los objetos geométricos mas simples con los cuales se debe trabajar?
 A continuación, encontrará una visualización gráfica de este tema de la unidad.

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operacionesllamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
i. Si x V y Y V, entonces x+y V
ii. Para todo x,y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (leyasociativa de la suma de vectores)
iii. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x
(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
iv. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)
v. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)
vi. Si x V y a es un escalar, entonces a xV ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
vii. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x +y (primera ley distributiva)
viii. Si x V y y son escalares, entonces ( +)x = x+x (Segunda ley distributiva)
ix. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)
x. Para cada vector x V, 1x= xX1
X2
.
.
XN

X1
X2
.
.
XN

EJEMPLO 1

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

-x1
-x2
.
.
.
-xn
-x1
-x2
.
.
.
-xn
0
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0

0=y –x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la

definición de matrices.

Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas que se muestran enumerados a continuación.
Notación. Si x y y están en V y si α es un número real,entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y α x para el producto escalar de α f x.

Axiomas de un espacio vectorial.
i. Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V (es decir, V es cerrado para la suma).
ii. Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).
iii. Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro...