Algebra Lineal

ESPACIO VECTORIAL.
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se lesllama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 y la operación producto por un escalar:
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
  

COMBINACION LINEAL:
Un vector  se diceque es combinación lineal de un conjunto de vectores  si se puede expresar como suma de los vectores de  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo:
El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores(1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:
 : Se dice que  es combinación lineal de  y de , porque podemos escribir  sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto  necesito para que, cuando se combinen linealmente dichoselementos, pueda formar el vector  en cuestión.

BASE Y DIMENSION:
Base
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases:
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo másgrande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ^n
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
--------
en = (0,0,. . . ,1)
*Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
*Son sistema generador deℜ^n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ^n se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
Dimension:
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectoresindependientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Ejemplos de dimensión.
1. ℜ^n tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una basede M2x2 es:

3. P2= {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:
1+0x+0x^2, 0+x+0x^2, 0+0x+x^2 (es decir, los polinomios 1, x, x^2).
Otra base: 1+2x+3x^2, 4+x^2, 3–x–5x^2
TRANSFORAMCION LINEAL:
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda...