Algebra Lineal
































ALGEBRA LINEAL

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE

GUERRERO GARCÍA MELISSA ARACELI

13250612

ANTONIO AGUILAR ANGUIANO

01 DICIEMBRE 2014



ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operaciónexterna (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ).

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y laadición (una asociación entre un par de objetos). 



BASES Y DIMENSIÓN


Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
Generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.


Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independientemaximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.


Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:

e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

-Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)


2. Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜ 3 porquecualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos  ,  ,  que satisfagan

(a,b,c)=  (1,0,0)+ 

Se obtiene un sistema:

 +  = a
 +2  =b
-3  = c

(1,1,0)+  (0,2,-3)
en las incógnitas  ,  ,  , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.

3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmenteindependientes
(su determinante es nulo).

4. Base de un subespacio. En ℜ ,3 consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.

- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0),(1,–1,0). Para ello, buscamos  que cumplan:
(a,b,0)=  (3,2,0)+ 
(1,–1,0) Æ 3 +  = a
2 –  = b


S. C. D. para cualesquiera a,b.


5. Extender un conjunto para que forme base. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ 3?

- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Pero no son un sistema generador de ℜ 3, porque no es cierto que todo vector de ℜ 3 pueda ponerse comocombinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible).
Por tanto no son base de ℜ 3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ 3 de algún modo?

Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ 3, por tanto es basede ℜ 3.


6. Reducir un conjunto para que forme base. ¿Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de
S=plano XY de ℜ 3 ?

- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo). Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?
Sí. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los demás y...