Algebra Lineal
Páginas: 5 (1039 palabras)
Publicado: 20 de abril de 2015
Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Matemáticas I curso 201213
29. Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones explícitas (paramétricas) de los
siguientes subespacios. ¿En qué espacio vectorial están contenidos?
⁄
, ,
,
es subespacio vectorial de
Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. implícitas.
. Buscamos las ecuaciones paramétricas
De
nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
2
0
0
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
3
0
2
Mirando el menor principal concluimos que las dos ecuaciones son l.i. y la variable libre es z
2
2
ó
0
0
:
é
Buscamos una base y la dimensión
1
0
1
1,0,1
1
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
º
,,
,
, ,
es subespacio vectorial de
í
. .
1
Dato: Tenemos un sistema generador.
.
Buscamos una base y la dimensión
Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
1
1
1
1
0
1
1
1
1,1,1 ,
1
0
1
01,0,1
2
. .
2
Buscamos las ecuaciones paramétricas
Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
, ,
1,1,1
é
1,0,1
:
,
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
1
1
1
2,
Como
1
0
1
Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que
º
.
í
. .
1
2
1
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.
º
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.
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í
. . Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Matemáticas I curso 201213
⁄
, ,
,
es subespacio vectorial de
Dato: Tenemos “las candidatas” a ecuaciones implícitas.
.
Buscamos las ecuaciones paramétricas
De
nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
1
2
1
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1
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0
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0,
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0
0
1Mirando el menor principal concluimos que sólo hay una ecuación l.i. y las variables libres son “y” y “z”
ó
á
Resolvemos el sistema:
0
0
ó
:
é
Buscamos una base y la dimensión
1
1
0
0
0
1
1,1,0 , 0,0,1
2
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
º
, ,
,
, ,
í
. .
2
Dato: Tenemos un sistema generador.
es subespacio vectorial de
.
Buscamos una base y la dimensión Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
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0
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0
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1
0
2
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1
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. .
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Buscamos las ecuaciones paramétricas Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
, ,
1,0,1
é
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:
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
Como
1
0
1
1,
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.
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Sabíamos que iban a salir 2 ec. implícitas ya que
.
º
í
. .
º
.
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Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Matemáticas I curso 201213
,
⁄ ,
,
es subespacio vectorial de Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. paramétricas.
.
Buscamos una base y la dimensión
2
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3
3
3
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0
2
2
1
,
, Tenemos que “limpiar” el sistema generador, es decir, eliminar los
2,2,1 , 3,3,0
vectores l.d. para tener una base.
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3
3
0
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1
3
0
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. .
2,2,1 , 3,3,0
2
Buscamos las ecuaciones implícitas (a partir de la base).
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1
2,
3
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1
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0
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0Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que
º
, ,
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⁄ ,
,
es subespacio vectorial de
. .
º
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.
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Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. paramétricas.
.
Buscamos una base y la dimensión
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1
0
1
0
,
0
0
1
1
, Tenemos que “limpiar” el sistema generador, es decir,
1,0,1,0 , 0,0,1, 1
eliminar los vectores l.d. para tener una base.
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0
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0
0
0
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1
0
1
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0
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....
29. Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones explícitas (paramétricas) de los
siguientes subespacios. ¿En qué espacio vectorial están contenidos?
⁄
, ,
,
es subespacio vectorial de
Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. implícitas.
. Buscamos las ecuaciones paramétricas
De
nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
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Mirando el menor principal concluimos que las dos ecuaciones son l.i. y la variable libre es z
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ó
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Buscamos una base y la dimensión
1
0
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1,0,1
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Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
º
,,
,
, ,
es subespacio vectorial de
í
. .
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Dato: Tenemos un sistema generador.
.
Buscamos una base y la dimensión
Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
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1
1
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0
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1,1,1 ,
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1
01,0,1
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. .
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Buscamos las ecuaciones paramétricas
Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
, ,
1,1,1
é
1,0,1
:
,
Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
1
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2,
Como
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0
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Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que
º
.
í
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º
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í
. . Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Matemáticas I curso 201213
⁄
, ,
,
es subespacio vectorial de
Dato: Tenemos “las candidatas” a ecuaciones implícitas.
.
Buscamos las ecuaciones paramétricas
De
nos dan “las candidatas” a ecuaciones implícitas, para que lo sean habrá que “limpiarlas”:
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2
1
2
1
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0
1
2
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0,
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0
1Mirando el menor principal concluimos que sólo hay una ecuación l.i. y las variables libres son “y” y “z”
ó
á
Resolvemos el sistema:
0
0
ó
:
é
Buscamos una base y la dimensión
1
1
0
0
0
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1,1,0 , 0,0,1
2
Otra forma de saber la dimensión del subespacio:
º
, ,
,
, ,
í
. .
2
Dato: Tenemos un sistema generador.
es subespacio vectorial de
.
Buscamos una base y la dimensión Tenemos un sistema generador, hay que “limpiarlo”, es decir, eliminar los vectores l.d. para obtener una base.
Para ello estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador.
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0
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. .
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Buscamos las ecuaciones paramétricas Cualquier vector del subespacio se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base:
, ,
1,0,1
é
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Buscamos las ecuaciones implícitas (conociendo la base)
Como
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Sabíamos que iban a salir 2 ec. implícitas ya que
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Problemas resueltos de subespacios vectoriales, base y dimensión. Matemáticas I curso 201213
,
⁄ ,
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es subespacio vectorial de Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. paramétricas.
.
Buscamos una base y la dimensión
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,
, Tenemos que “limpiar” el sistema generador, es decir, eliminar los
2,2,1 , 3,3,0
vectores l.d. para tener una base.
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1
3
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2
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2
Buscamos las ecuaciones implícitas (a partir de la base).
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0Sabíamos que iba a salir 1 ec. implícita ya que
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es subespacio vectorial de
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í
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Dato: Tenemos “las candidatas” a ec. paramétricas.
.
Buscamos una base y la dimensión
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1
, Tenemos que “limpiar” el sistema generador, es decir,
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eliminar los vectores l.d. para tener una base.
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