Algebra moderna

4. AUTOMORFISMOS DE CUERPOS. En este tema probaremos que dos elementos α y β, conjugados sobre un cuerpo F , determinan un isomorfismo entre los cuerpos F (α) y F (β). Tambi´n cierto e rec´ ıproco ser´ v´lido. Estos isomorfismos son llamados isomorfismos b´sicos de la a a a teor´ de cuerpos algebraicos. Dos consecuencias se derivar´n de este resultado. La ıa a primera, que todo monomorfismo de F (α)en F que deje fijo F env´ α a un conjuıa gado sobre β, resultado clave para la demostraci´n del Teorema de Extensi´n en el o o tema siguiente. La segunda, que los ceros complejos en un polinomio con coeficientes reales aparecen por parejas. Se estudiar´ adem´s la estructura algebraica de los automorfismos de un cuerpo a a que dejan fijo un subcuerpo del mismo, y se dar´, para cada cuerpo finito decaraca ter´ ıstica p, un automorfismo que deja fijo el cuerpo primo Zp : el automorfismo de Frobenius.

Los isomorfismos b´sicos de la teor´ de cuerpos algebraicos. a ıa
En lo que sigue supondremos que la clausura algebraica de un cuerpo F es unica, salvo isomorfismos de cuerpos que dejan fijos los elementos de F , hecho que ´ demostraremos m´s adelante (en el Tema 5). a Veremos que si dos elementos α yβ son ceros del mismo polinomio irreducible sobre un cuerpo F , entonces F √ y F (β) son isomorfos. En general esto no es cierto (α) √ √ √ pues, por ejemplo, Q( 2) y Q( 3) no son isomorfos: Si ϕ : Q( √ → Q( 3) fuera un 2) √ isomorfismo de cuerpos, como ϕ(1) = 1, ϕ(a + b 2) = a + bϕ( 2), cualesquiera√ que sean a, b ∈ Q, as´ que ϕ es un isomorfismo de Q-espacios vectoriales y la base√ ı {1, 2} √ √ deQ( 2) habr´ de transformarse mediante ϕ en una base {1, u+v 3} de Q( √3), con ıa √ √ √ u, v ∈ Q. Observemos que 2 = ( 2)2 = √ 2)2 = (u+v 3)2 = u2 +3v 2 +2uv 3. Por ϕ( la independencia lineal sobre Q de {1, 3}, 2 = u2 + 3v 2 y 0 = 2uv, as´ que uv = 0. ı √ Si u = 0, 2 = 3v 2 , luego ± 2 estar´ en Q, lo que no es cierto. Si v = 0, u = ± 2 ıa 3 pertenecer´ a Q, absurdo. En consecuencia no puede existirun isomorfismo entre ıa ambos cuerpos. Esta demostraci´n ser´ innecesaria despu´s de probar el Corolario 4.7. o a e 4.1. Definici´n. o Sea F ≤ E una extensi´n algebraica. Diremos que dos elementos α y β perteneo cientes a E son conjugados sobre F si irr(α, F ) = irr(β, F ). 4.2. Ejemplos. √ √ (1) a + b 2 y a − b 2, con a, b ∈ Q, son conjugados sobre Q porque son las 1

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´ ´ Algebra Clasica.Curso 03/04

ra´ ıces del polinomio x2 − 2ax + (a2 − 2b2 ), que es irreducible sobre Q si b = 0. (2) i y −i son conjugados sobre R porque son las ra´ ıces del polinomio x2 + 1, que es irreducible sobre R. En general a + bi y a − bi, con a, b ∈ R, son conjugados sobre R, como se prueba de manera an´loga. a 4.3. Teorema (Los isomorfismos b´sicos de la teor´ de cuerpos algea ıa braicos). Sea F uncuerpo y sean α y β algebraicos sobre F , con deg(α, F ) = n ∈ N. Entonces, la siguiente aplicaci´n: o ψα,β : F (α) a0 + a1 α + . . . an−1 αn−1 −→ → F (β) a0 + a1 β + . . . an−1 β n−1

es un isomorfismo de cuerpos si y s´lo si α y β son conjugados sobre F . o Demostraci´n: o Supongamos en primer lugar que ψα,β es un isomorfismo. Como dicha aplicaci´n es un homomorfismo de espacios vectoriales, n = [F(α) : F ] = [F (β) : F ] = o deg(α, F ). Sea f (x) = b0 +b1 x+. . . bn−1 xn−1 +xn = irr(α, F ). Puesto que f (α) = 0, 0 = ψα,β (f (α)) = b0 + b1 β + . . . bn−1 β n−1 + β n , as´ que f (x) es un polinomio m´nico ı o irreducible de F [x], de grado n, del que β es ra´ luego f (x) = irr(β, F ). ız, Rec´ ıprocamente, supongamos que irr(α, F ) = irr(β, F ) = p(x). Recordemos o que F (α) ∼ F [x]/ < p(x)>, y que la aplicaci´n = ψα : F [x]/ < p(x) > a0 + a1 x + . . . an−1 xn−1 −→ → F (α) a0 + a1 α + . . . an−1 αn−1

es un isomorfismo de cuerpos. An´logamente se tiene un isomorfismo a ψβ : F [x]/ < p(x) > a0 + a1 x + . . . an−1 xn−1 −→ → F (β) a0 + a1 β + . . . an−1 β n−1

Para cada elemento a0 + a1 α + . . . an−1 αn−1 ∈ F (α),
−1 ψβ ψα (a0 + a1 α + . . . an−1 αn−1 ) = ψβ (a0 + a1 x + . . ....