Algebra y Geometría Analítica

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

NÚMEROS COMPLEJOS
Ing. Griselda Ballerini
2006

Definición:

Llamaremos número complejo al par ordenado (a,b) de números reales que notaremos Z=(a,b), donde a: componente real.
b: componente imaginaria.

Un número complejo del tipo Z=(a,0) se llama complejo real puro, su componente imaginaria es nula, en particular el complejoZ=(0,0) , ( complejo nulo ) representa , en el campo de los complejos, al real 0.

Un número complejo del tipo Z=(0,b) se llama complejo imaginario puro, su componente real es nula.

Ejemplos:

Z1=(-3,4) --> nº complejo de componente real -3 e imaginaria 4.
Z2=(7,0) --> nº complejo real puro de componente real 7.
Z3=(0,6) --> nº complejo imaginario puro de componente imaginaria 6.Observación:
Si bien puede desarrollarse gran parte de la teoría de los números complejos a partir de los mismos dados en forma de par ordenado, en este curso lo haremos a través de su representación en forma binómica y polar.

Unidad imaginaria:

Para dar sentido a la expresión [pic]con p>0 se convino en llamar unidad imaginaria a [pic][pic], entonces por aplicación de propiedades de laradicación resulta que:
[pic]=[pic] [pic]= [pic] [pic]

Usando este concepto y por aplicación de operaciones con complejos en forma de par ordenado se prueba que todo complejo Z=(a,b) puede escribirse en forma binómica como:
Z=a+b [pic] donde a: parte real
b: parte imaginaria

Precaución: la parte imaginaria es el número real a b sin la [pic]Ejemplos:

Z1= (-3,4) = -3+4 [pic]
Z2=(7,0) = 7+0 [pic]= 7
Z3=(0,6) = 0+6 [pic]= 6 [pic]

Igualdad entre números complejos:

Dado Z1=a1+b1 [pic] y Z2=a2+b2 [pic], Z1=Z2 a1=a2 y b1=b2

Potencias naturales de la unidad imaginaria:

[pic]0 = 1
[pic]1 = [pic]
[pic]2 = -1 se prueba a partir de producto de números complejos en forma de par ordenado)
[pic]3 = [pic]2 . [pic]= -1.[pic]= - [pic]
[pic]4 = [pic]3 . [pic]= - [pic]. [pic]= - [pic]2 = - (-1) = 1
[pic]5 = [pic]4 . [pic]= 1. [pic]= [pic]
......................................

De lo anterior se observa que las potencias naturales de [pic] se reproducen cada períodos de 4, dicho de otra forma , dado n ( N tenemos en este caso que:

n | 4 [pic] n = 4 . c + rr c

entonces: [pic]n = [pic]4 . c + r = [pic]4 . c . [pic]r = ( [pic]4) c . [pic]r = 1 . [pic]r = [pic]r

En definitiva [pic] elevado a cualquier natural es igual a [pic]elevado al resto de la división del exponente dado por 4.

Ejemplo:

[pic]3689 =( [pic]4) 922 . [pic]= [pic]

Operaciones con números complejos en formabinómica:

Suma:

Dado Z1=a1+b1 [pic] y Z2=a2+b2 [pic], el complejo suma Zs = (a1+a2) + (b1+b2) [pic]

Ejemplo:

Z1=7-9 [pic]
Z2=-4+3 [pic], Z1+Z2=3-6 [pic]

Propiedades:

a) Z1+Z2 = Z2+Z1
b) Z1+Z2+Z3 = (Z1+Z2) + Z3 = Z1 + (Z2+Z3)
c) ( Z=a + b [pic]( el complejo nulo ( 0+0 [pic]) tal que ( a+b [pic]) + (0+0 [pic]) = a+b [pic]
d) ( Z=a+b [pic] ( -Z=-a-b [pic] tal queZ+(-Z)=a+b [pic]+(-a-b [pic])=0+0 [pic]
-Z recibe el nombre de nº complejo opuesto.

Esta propiedad permite definir a la resta de complejos como la suma del primero más el opuesto del segundo.

Ejemplo:

Si Z1=5-7 [pic] ; Z2=-3+ [pic], entonces Z1-Z2=Z1+(-Z2)=5-7 [pic]+(3- [pic]) =8-8 [pic]

Producto:

Dado Z1=a1+b1 [pic] y Z2=a2+b2 [pic], el producto se define de forma tal quesean válidas las propiedades conmutativa y distributiva de los números reales:

(a1+b1 [pic]) . (a2+b2 [pic]) = a1(a2+b2 [pic]) + b1 [pic](a2+b2 [pic]) =

= a1a2+a1b2 [pic]+b1a2 [pic]+b1b2 [pic]2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2+b1a2) [pic]
(
-1

Ejemplos:

a) Z1=4-3 i , Z2=-6+2 i...