Algebra

VECTORES.
Un vector renglón de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números y se escribe:
(x1, x2,. . . . . . . xn)
Vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números y se escribe:
(■(x_1@x_2@■(x_3@⋮@x_n )))
Componentes de un vector. X1 recibe el nombre de primera componente del vector. En general xk es la k-esima componente del vector.
En aras de lasimplicidad, a menudo nos referimos a un vector renglón de n componentes como vector renglón o n-vector. De manera análoga, se utiliza el término vector columna para denotar un vector columna de n-componentes. Todo vector cuyos componentes sean cero se llama vector cero.
Ejemplos: (2, 3) es un vector renglón o 2-vector
(■(2@-1@5)) es un vector columna o bien un 3-vector
(■(0@0@0)) Es un vectorcolumna y además es vector cero.
La palabra ordenado que aparece en la definición de vector es esencial. Dos vectores cuyas componentes sean iguales pero escritas en diferente orden no son iguales
Suma de vectores. Sean a=(■(a_1@a_2@■(⋮@⋮@a_n ))) y b=(■(b_1@b_2@■(⋮@⋮@b_n ))) a+b=(■(a_1 〖+b〗_1@a_2+b_2@■(⋮@⋮@a_n+b_n )))
Ejemplo:
(■(1@2@3))+(■(-6@7@5))=(■(-5@9@8))
Para que la suma esté definida esnecesario que ambos vectores tengan el mismo número de elementos.
Al trabajar con vectores a los números se les llama escalares.

Multiplicación de un vector por a=(■(a_1@a_2@■(⋮@⋮@a_n )))r un escalar: Sean a=(■(a_1@a_2@■(⋮@⋮@a_n ))) un vector y α un escalar, entonces el producto aα está dado por: αa=(■(〖αa〗_1@〖αa〗_2@■(⋮@⋮@〖αa〗_n ))) Es decir que la multiplicación de un escalar por un vectorconsiste en multiplicar cada una de las componentes por el escalar
Producto escalar de dos vectores. Sean a= (■(a_1@a_2@■(⋮@a_n ))) y b = (■(b_1@b_2@■(⋮@b_n ))) El producto escalar de a y b denotado por a∙b está dado por: a1b1 + a2b2 + ………+anbn Debe de considerarse que ambos vectores deben de tener el mismo número de elementos y el resultado del producto será un escalar.
Teorema: Sean a, b, y cn-vectores y sean α y β escalares. Entonces:
a + 0 (vector 0)= a
0a = 0 (adviértase que el cero a la izquierda es el número cero, mientras que el cero a la derecha es el vector cero).
a + b = b + a (ley de conmutatividad).
(a + b) + c = a + (b + c) (ley de la asociatividad).
α(a + b) = αa + αb (ley de distribución de la multiplicación por un escalar).
(α + β)a = αa + βa
(αβ)a =α(βa)
Problemas.
Sean a=(■(-3@1@4)) b=(■(5@-4@7)) y c=(■(2@0@-2)) Calcule lo siguiente:
a + b e. 2a – 5b i. 3a-2b + 4c
3b f. -3b +2c j. 3b -7c +2a
-2c g. 0c
b + 3c h. a + b + c
Sean a=(3, -1, 4, 2), b= (6, 0, -1, 4) y c = (-2, 3. 1. 5). Calcule:
a + c e. b – a f. 4c
-2b g. a + b + c h. c - b +2a
2a – c i. 3a – 2b + 4c j. 4b – 7a
Sea a = (■(a_1@a_2@■(⋮@a_n))) y 0 el vector cero de n componentes. Demuestre que a + 0 = a y 0a=0
Sean a= (■(a_1@a_2@■(⋮@a_n ))) b= (■(b_1@b_2@■(⋮@b_n ))) y c = (■(c_1@c_2@■(⋮@c_n ))) Calcule (a + b ) + c y a + (b + c) y haga ver que son iguales.

MATRICES.
Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números acomodados o dispuestos en m renglones y n columnas:
A= [■(■(a_11@■(a_21@■(⋮@a_i1@■(⋮@a_m1))))&■(■(a_12&■(…&■(a_1j&■(…&a_1n ))))@■(■(a_22@■(⋮@a_i2@■(⋮@a_m2 )))&■(■(…@■( @…@ ))&■(■(a_2j@■(⋮@a_ij@■(⋮@a_mj )))&■(■(…&a_2n )@■(■( &⋮)@■(…&a_in )@■(■( @…)&■(⋮@a_mn )))))))))] El símbolo m x n se lee m por n. A menos que se diga lo contrario siempre se considerará que los números de una matriz son números reales.
El vector renglón (ai1, ai2….ain) se le llama renglón i al vector columna(■(a_1j@■(a_2j@■(⋮@a_mj )))), se le llama vector columna j. La componente ij - ésima de A denotada como aij, es el número que aparece en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna.
Si A es una matriz de m x n con m = n se le llama matriz cuadrada. Una matriz de m x n en la que todas las componentes son cero se llama matriz cero de m x n
Ejemplos:
A = [■(1&3@4&2)] 2 x 2 matriz cuadrada. A = [■(-1&3@4&0@1&-2)]...