Algebra

Unidad 5: Transformaciones lineales
Algebra lineal

5.1.- Introducción a las transformaciones lineales*
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizarfunciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo,y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

5.2.- Núcleo e imagen de una transformación lineal
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

• Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
• El núcleo de toda transformación lineal esun subespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
• Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))

• O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio delcodominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))

5.3 La matriz de una transformación lineal
1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal
Representación matricial de una transformación lineal.
Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} esuna base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.
• Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m× n.
Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.
Teorema
Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienenuna representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,... n que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,..., n que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,..., n) es unarepresentación de T respecto a la base
(u1,...,un).
Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares 1,..., n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y 1,..., n, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.
Teorema
Sea una...