Algebra

Transformaciones lineales.
 
Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para todo u,v Î Vy todo a,b Î R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.
Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R y todo u,v Î V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v)= Tu + Tv.
En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo.

para distinguir el vector cero de V del vector cero de W ydel número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.
Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:
T0V =T(00V) = 0T0V = 0W.
 
Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará estatransformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.
Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v Î V tienepor imagen el vector 0W, también es lineal.
Siguen algunos ejemplos de transformaciones lineales.
 
1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre R. Se defineuna función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si
v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:
T(av + bv¢) =T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] =
aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.
2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ® Rm definida por:
T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3.La derivación de polinomios, D: R[X] ® R[X], es lineal.
4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea
w Î V un vector de norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la...