Algebra

CAPITULO 3

Anillos
En este cap´ ıtulo desarrollaremos algunos aspectos de una teor´ general que ıa englobe a todos los ejemplos que hemos visto en los cap´ ıtulos anteriores, a otros que el lector ha estudiado en distinto contexto y nuevos ejemplos de conjuntos dotados de operaciones con las que se puede desarrollar una aritm´tica similar a la e de los n´meros enteros. u 1. Definiciones yEjemplos ´ Definicion 3.1. Un anillo es un conjunto no vac´ A dotado de dos operaciones ıo que denotamos + y · que satisfacen las siguientes condiciones: a) (a + b) + c = a + (b + c) b) Existe un elemento 0 ∈ A, al que llamaremos neutro aditivo de A, tal que para todo a ∈ A, a+0=0+a=a c) Para cada a ∈ A existe b ∈ A tal que a+b=b+a=0 Demostraremos despu´s de los ejemplos que tal elemento es unico. Loe ´ llamaremos inverso aditivo de a y lo denotaremos −a, asimismo, abreviaremos la expresi´n a + (−b) por a − b. o a+b=b+a e) f) (a · b) · c = a · (b · c) a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a

d)

Si adem´s a

a · b = b · a, el anillo se dice conmutativo. 1 Si existe un elemento 1 ∈ A tal que a · 1 = 1 · a,

el anillo se dice unitario. Al elemento 1 lo llamaremos neutromultiplicativo de A. Como veremos en los ejemplos, sobre un mismo conjunto A puede definirse distintas operaciones y, por lo tanto, obtener distintos anillos. Debemos entonces ı explicitar las operaciones sobre A de las que estamos hablando, as´ en estricto rigor, un anillo es un triple A, +, · . Sin embargo, es habitual hablar del anillo o A cuando no hay posibilidad de confusi´n respecto de lasoperaciones de las que estamos hablando. Seguiremos la convenci´n de escribir ab en lugar de a · b. o Ejemplos 3.1. (1) En los dos cap´ ıtulos anteriores hemos estudiado los ejemplos cl´sicos de anillos. Todos ellos son conmutativos y unitarios. a Los enteros Z, +, · . Las clases residuales Zn , ⊕, ⊗, . Los polinomios Q[x], +, · . Tambi´n Z[x], R[x], etc. e (2) Los anillos de n´meros Q,R y Cdotados de las operaciones habituales. u (3) Definimos 2Z = {2n : n ∈ Z} y lo dotamos de la suma y producto de Z. Este es un anillo conmutativo y no unitario. Analogamente, para cualquier entero positivo n podemos definir el anillo nZ. (4) Dado un anillo cualquiera A, podemos generalizar el trabajo del Cap´ ıtulo 2 y definir el conjunto A[x] de los polinomios sobre A. y las operaciones se definen como parapolinomios sobre Q. A[x] es el anillo de los polinomios sobre A. (5) El conjunto M2 (R), de las matrices cuadradas de orden 2, con las operaciones de suma y producto matricial habituales, es un anillo no conmutativo y unitario, donde 0= 0 0 0 0 . 1= 1 0 0 1 . A[x] = {an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 : n ∈ N, a0 , a1 , . . . , an ∈ A},

(6) El siguiente ejemplo requiere de ciertas nocioneselementales de c´lculo. a Consideramos el conjunto C[0, 1] de todas las funciones continuas f : [0, 1] −→ R, a donde las operaciones f + g y f · g est´n definidas punto a punto: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f · g)(x) = f (x)g(x). Este es un anillo no conmutativo y unitario. ¿Cu´les son sus neutros a aditivo y multiplicativo?

(7) Los llamados enteros de Gauss, Z[i] = {m + ni : m, n ∈ Z}, con lasoperaciones habituales de los n´meros complejos es tambi´n un anillo. u e (8) Consideremos ahora el conjunto Z de los n´meros enteros pero con nuevas u operaciones definidas como sigue: a⊕b = a+b a⊗b = 0 (9) Definimos Z × Z = {(a, b) : a, b ∈ Z} con operaciones por coordenadas, es decir, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d)) = (ac, bd). ı Z × Z as´ definido es un anillo. Resulta obvio que esteejemplo es un caso particular de una construcci´n mucho m´s general. Dados dos anillos cualquiera A y B, podeo a mos definir el anillo A × B, llamado el producto directo de A y B, con las operaciones definidas de manera an´loga a la anterior. a Teorema 3.1. En todo anillo A se verifica: (1) 0 es el unico elemento de A con la propiedad que lo define, es decir, si ´ para todo a ∈ A, a + c = c + a = a,...