Algebra

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José Montaño Romero

CAPÍTULO 1 LÓGICA SIMBÓLICA 1.1. Introducción Los símbolos especiales del lógico resultan ser la ayuda que prestan en el uso y manejo real de enunciados y razonamientos. En ese aspecto, la situación es comparable a la que condujo al reemplazo de los números romanos por la notación arábiga. Todos sabemos que los números arábigos son mas claros y fáciles decomprender que los antiguos números romanos a los cuales desplazaron. Pero la verdadera superioridad de los números arábigos solo se revela en el cálculo. Cualquier niño de escuela primaria puede multiplicar 113 por 9. Pero multiplicar CXIII por IX es una tarea difícil y la dificultad aumenta si consideramos números mayores. De manera análoga, la adopción de una notación lógica especial facilitagrandemente la derivación de inferencias y la evaluación de razonamientos. Para citar las palabras de Alfred North Whitehead, uno de los grandes impulsores del progreso de la lógica simbólica señalaba: … con la ayuda del simbolismo, podemos efectuar por medio de la vista y de manera casi mecánica transiciones en el razonamiento que exigirían, sin aquél, el uso de las facultades superiores delcerebro. Desde este punto de vista, llegamos a la paradójica conclusión de que no incumbe a la lógica el desarrollo de nuestras facultades de pensamiento, ¡sino el desarrollo de técnicas que nos permitan avanzar sin tener que pensar! La lógica es la ciencia del razonamiento y tiene sus aplicaciones en las distintas disciplinas, tales como: • En las matemáticas para demostrar teoremas. • En la computaciónpara verificar la corrección de los programas y para demostrar teoremas. • En las ciencias físicas y naturales para sacar conclusiones de los experimentos. • En las ciencias sociales y en la vida cotidiana para resolver una infinidad de problemas. Definición. La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. 1.2. ProposiciónUna proposición es toda expresión verbal o escrito respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa. Ejemplo 1-1. 1. La ciudad de Sucre es capital de Bolivia. 2. Un triángulo tiene cuatro lados. 3. ¿Cómo está usted? 4. ¡Viva Bolivia! 5. Sume tres y dos 6. Quiero saber lo que tú haces. 7. He decidido viajar Los dos primeros ejemplos son proposiciones, mientras los otros cinco no sonproposiciones, el tercero es una oración interrogativa, el cuarto una oración interjectiva, el quinto es una oración que expresa orden, el sexto es una oración que expresa un deseo y el último es una oración de decisión.

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La lógica simbólica admite como reglas principales a dos principios siguientes: 1º. Principio de no contradicción Una proposición no puede serverdadera y falsa a la vez. 2º. Principio de tercero excluido Cualquiera sea la proposición o es verdadera o es falsa, es decir, se verifica siempre uno de estos dos y jamás un tercero. Notación: Las proposiciones se representan por letras minúsculas del alfabeto, tales como: p, q, r, .. Los valores de verdad de las proposiciones son dos: Si p es una proposición su valor de verdad se denotará por V(Verdad) ó F (Falsedad). 1.3. Clasificación de las proposiciones 1.3.1. Proposiciones simples Son aquellas que no incluyen dentro de sí a ninguna otra proposición. Ejemplo 1-2. 1. Hoy es jueves = p 2. Al león le gusta cazar hombres = q 1.3.2. Proposiciones compuestas Son aquellas formadas por la combinación de dos o más proposiciones simples, mediante la utilización de conectivos o enlaceslógicos. Ejemplo 1-3. 1. Hoy es jueves y al león le gusta cazar hombres. 2. Al león le gusta cazar hombres, entonces hoy es jueves. 1.4. Conectivos Conectivo

¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ ∨

Operación Negación Conjunción Disyunción Implicación Doble implicación Diferencia simétrica

Significado no p (no es cierto que p) pyq p o q (en sentido incluyente) p implica q p sí y sólo sí q p ó q (en sentido excluyente)...