Algebra

FORMULARIO DE ÁLGEBRA Razones y proporciones. Razón (o relación) de dos cantidades es el cociente de dividir una cantidad entre la otra. La razón de a a b se escribe a:b, o bien

a ; a y b son llamados los términos de la razón. b

Proporción es la igualdad de dos razones, éstas deben estar necesariamente expresadas en las mismas unidades. Se llaman términos de una proporción a las cuatrocantidades que entran en ella. Los términos primero y tercero se llaman antecedentes; el segundo y el cuarto, consecuentes. El primero y el cuarto se llaman extremos; el segundo y el tercero, medios.

a c = , a : b :: c : d , a : b = c : d b d
Términos: a, b, c, d. Antecedentes: a, c. Consecuentes: b, d. Extremos: a, d. Medios: b, c. Cuarta proporcional.- Se llama cuarta proporcional de trescantidades dadas a la cantidad que forma el cuarto término en una proporción, cuyos otros términos son las tres cantidades dadas tomadas en orden. Proporción continua.- Se llama proporción continua aquella en que los medios son iguales. Media proporcional.- Son los términos iguales de una proporción continua, también son conocidos como la media geométrica. TEOREMAS RELATIVOS A PROPORCIONES “En todaproporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios”, e inversamente, “Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, uno de los pares puede hacer las veces de medios y el otro par, de extremos de una proporción”.

a c = ⇔ ad = bc . b d
MÉTODOS DE TRANSFORMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN EN OTRA 1. Método de inversión: En toda proporción se pueden invertir las dosrazones, de lo cual resulta otra proporción.

a c b d = ⇔ = b d a c
2. Método de alternación: Si se cambian entre sí los medios, o entre sí los extremos de una proporción, se obtiene una nueva proporción.

a c a b d c = ⇔ = ⇔ = . b d c d b a
3. Método de adición (o de sustracción): En toda proporción pueden agregarse (o restarse) a los antecedentes sus respectivos consecuentes de lo cualresulta otra proporción.

a c a+b c+d = ⇔ = b d b d
Leyes de los exponentes y radicales 1. a a = a
−n

o

a c a−b c−d . = ⇔ = b d b d

m n

m+n

am m−n 2. n = a , con a ≠ 0 a
5. (ab) = a b
n n n

3. a = 1, con a ≠ 0

0

4. a

1 = n , con a ≠ 0 a

an a 6.   = n , con b ≠ 0 b b

n

7. a 10.

( ) = (a )
m n
n

n m

= a mn

1 8. n a = a n

9. n ab = n a n bm n

a na = , con b ≠ 0 b nb

11.

n

am =

(n a )m = a

Productos notables y factorización

( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2

( x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 2)(n − k + 1) n − k k x y + ... + x y + ... + y n 2! k!  n  n  n  n −1  n  n − 2 2  n  n−k k  n  n n  n n−k k n  x y ( x + y ) =   x +   x y +   x y + ... +   x y + ... +   y = 0 1  2 k  n k            k =0   ( x + y ) n = x n + nx n −1 y +

∑

En ambas fórmulas los coeficientes son iguales,   =  k  k!(n − k )! =  

n

n!

n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 2)(n − k + 1) , con k!

k! = 1 × 2 × 3 × ... × k y, además, 0! = 1 . n A la parte   se le llamacoeficiente binomial y tiene, entre otras, las siguientes propiedades: k   
•

n  n   = k  n − k        n   n   n + 1 •  +  k   k + 1 =  k + 1 , propiedad del triángulo de Pascal.         
•

n n n n   +   +   + ... +   = 2 n  0 1  2 n         n n n nn •   −   +   − ...( −1)   = 0  0 1  2 n       
•

 n   n + 1  n + 2   n + m   n + m + 1  +  n   n  +  n  + ... +  n  =  n + 1                   n n n n −1 •   +   +   + ... = 2  0  2  4       n n n   +   +   + ... = 2 n −1 1  3 5      

•

•

•

•

•

n n n n  2n    +   +   + ... +   =    0 1  2...