Algebra

Funciones sin primitiva elemental
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/ivorra)

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Introducci´n o

La funci´n de densidad de la distribuci´n normal (con media 0 y desviaci´n t´ o o o ıpica 1) viene dada por la funci´n o 1 2 f (t) = √ e−t /2 , 2π la celeb´rrima “campana de Gauss”. Esto significa que la probabilidad de que una variable e aleatoria con dicha distribuci´n tome su valor en unintervalo [a, b] viene dada por la o integral b 1 2 √ e−t /2 dt. 2π a En la pr´ctica, estas integrales se calculan con la ayuda de tablas (o, m´s modernaa a mente, de ordenadores), porque, como todos los libros de estad´ ıstica indican, la funci´n o −t2 /2 “no se puede integrar”, obviamente, no en el sentido de que no exista la integral e (todas las funciones continuas tienen integral), sino en elsentido de que no existe ninguna f´rmula “elemental”, es decir, en t´rminos de polinomios, ra´ o e ıces, senos, cosenos, exponenciales, logaritmos, etc., que determine una funci´n F (t) tal que F = f . o Lo que no hacen los libros de estad´ ıstica (ni pr´cticamente ning´n libro) es explicar a u por qu´ esto es as´ A lo sumo, remiten a un trabajo esot´rico de Liouville al respecto. El e ı. e 2 objeto deeste art´ ıculo es demostrar precisamente que la funci´n e−t /2 , al igual que otras o muchas funciones sencillas, no tiene primitiva elemental. Para ello, el primer paso obligado es dar una definici´n rigurosa de “funci´n elemental”, o o y queremos hacerlo de tal forma que sea lo suficientemente simple como para que podamos operar con ella en teor´ y, a la vez, lo suficientemente amplia como paraque recoja a ıa cualquier funci´n del estilo de o √ x5 − sen4 ( 3 x9 + 7 + ln x) f (x) = , ex4 −3x + tan x es decir, a cualquier funci´n que pueda admitirse como “soluci´n expl´ o o ıcita” de una integral dada. En realidad, la definici´n que daremos ser´ especialmente “generosa”, en el sentido o a de que admitiremos como funciones elementales a algunas funciones para las que ser´ ıa 1cuestionable si merecen ser consideradas como tales, pero esto no debe importarnos, ya que nuestra definici´n est´ orientada a probar un resultado negativo: cuanto m´s amplia o a a sea nuestra definici´n de funci´n elemental, m´s potente ser´ la afirmaci´n de que una o o a a o funci´n dada no admite una primitiva elemental. o Por razones t´cnicas tendremos que trabajar con funciones de variable compleja, as´ eı que dedicaremos la secci´n 2 a introducir el concepto de funci´n elemental compleja (y, o o m´s en general, una definici´n algebraica abstracta de funci´n elemental) para, postea o o riormente, definir en la secci´n 3 el concepto de funci´n elemental real, que ser´, seg´n o o a u ıa a veremos, todo lo amplio que cabr´ exigir (e incluso m´s). Para seguir la prueba, el lector deber´ estarfamiliarizado con las funciones meromorfas a y con la teor´ b´sica de extensiones de cuerpos. Las aplicaciones a integrales de funcioıa a a a a ıa nes algebraicas requerir´n adem´s algunos resultados b´sicos de la teor´ de cuerpos de funciones algebraicas de una variable.

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Funciones elementales

Si D ⊂ C es un dominio, (un abierto conexo), llamaremos M(D) al conjunto de todas las funcionesmeromorfas f : D −→ C∞ , es decir, funciones definidas en D, que toman el valor ∞ a lo sumo en un conjunto discreto de puntos (llamados polos de la funci´n), sin o puntos de acumulaci´n en D, fuera del cual son derivables, y de modo que son continuas o en los polos (lo que quiere decir que f (z) tiende a ∞ cuando la z tiende a un polo). Es conocido que M(D) es un cuerpo, es decir, que al sumar, restar,multiplicar y dividir funciones meromorfas, obtenemos de nuevo una funci´n meromorfa. o Esto debe ser bien entendido: si f , g ∈ M(D), la uni´n de los conjuntos de polos de o f y g es un cerrado discreto en D (en particular no es todo D), luego su complementario es un abierto D0 ⊂ D no vac´ Las restricciones f |D0 y g|D0 son funciones holomorfas en ıo. D0 , es decir funciones meromorfas sin polos,...