Amor

El origen de la integral:
La primera mitad del siglo XVII

[pic]Fermat

Víctor Miguel García Dorado

Nos situamos a comienzos del siglo XVII , justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo, que junto con la geometría analítica es ”la mayor creación de todas lasmatemáticas”.

En aquella época había cuatro tipos de problemas principalmente:

1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surge directamente del estudio delmovimiento.

2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento.

3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para aplicarlo al problema del tiro parabólico y el estudio del movimiento de los planetas.

4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centrosde gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.

En aquel entonces aun no había constancia de la estrecha relación que hay entre los cuatro problemas.

Nos centraremos en este cuarto problema, y mostraremos los métodos más significativos para resolverlo que utilizaron los predecesores de Newton y Leibniz.

Los griegos ya habían aplicado métodos exhaustivos parael cálculo de áreas y volúmenes. A pesar del hecho de que lo aplicaban para áreas y volúmenes relativamente sencillos, tenían que utilizar mucha ingeniosidad, porque al método le faltaba generalidad, y no obtuvieron respuestas numéricas muy a menudo. Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas, volúmenes y centros degravedad. El Método exhaustivo se modifico primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo.

Los trabajos del siglo XVII al respecto de este cuarto problema comienzan con Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles. Estetrabajo (en Stereometria Dolorium) es tosco para los niveles actuales; por ejemplo, el área de un círculo es el área de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una base en la circunferencia. De la fórmula del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia, la mitad del perímetro por la apotema, obtenía el área del círculo. De forma análoga, considerabael volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de la esfera y cuyas bases están en la superficie. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio del radio por la superficie. Consideró el cono como una suma de discos circulares muy estrechos y así pudo calcular su volumen.

Galileo, en Dos nuevas ciencias, concibe las áreasde un modo parecido a Kepler; al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado, presentó un razonamiento para mostrar que el área de la curva tiempo-velocidad es la distancia. [pic]
Supongamos que un objeto se mueve con velocidad variable v=32t representado en el dibujo por la recta OB; entonces la distancia recorrida en el tiempo OA es el área OAB. Llegó a esta conclusiónconsiderando, por ejemplo, A´B´ como una velocidad típica en un instante y también como la distancia infinitesimal recorrida, y razonando entonces que el área OAB, que está construida con las líneas A´B´, debe ser, por tanto, la distancia total. Este razonamiento (poco claro) estaba apoyado en la mente de Galileo por consideraciones filosóficas que equivalían a considerar el área OAB como construida con...