Análisis Dimensional y Ecuación De Reynolds

Solución
(Laboratorio de problemas Análisis dimensional y ecuación de Reynolds)

1. Determinar la presión dinámica ejercida por el flujo de un fluido incompresible sobre un objeto inmerso, considere que la presión es función de la masa específica y de la velocidad del fluido.
Solución:
p=fρ, V

p=KρaVb
Dimensionalmente
ML-1T-2=ML-3aLT-1b

ML-1T-2=MaL-3a+bT-b
Igualando exponentes:a=1; -3a+b=-1; -b=-2 ,

Por lo tanto a=1 y b=2

Sustituyendo
p=KρV2

2. Suponga que la fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo sumergido en un fluido es función de la densidad, de la viscosidad, de la velocidad del fluido y de la longitud equivalente del cuerpo sumergido. Establecer la relación que nos permita determinar la fuerza de fricción en función de estas variables.Solución:
F=f(ρ,μ, L, V)

F=KρaμbLcVd
Dimensionalmente
MLT-2=ML-3aML-1T-1bLcLT-1d

MLT-2=Ma+bL-3a-b+c+dT-b-d
Igualando exponentes:
a+b=1; -3a-b+c+d=1; -b-d=-2
* a=1-b;
* d=2-b;
* -31-b-b+c+2-b=1
-3+3b-b+c+2-b=1
c=2-b:

Sustituyendo:
F=Kρ1-bμbL2-bV2-b

F=KρL2V2ρ-bμbL-bV-b

F=KρL2V2VLρμ-b

3. Suponiendo que el caudal de un canal abierto rectangular cambiadirectamente en función de la longitud del canal, la altura útil total, de la aceleración de la gravedad. Encontrar la ecuación empírica del caudal.
Solución:
Q=fL, H, g

Q=KLaHbgc
Dimensionalmente:
Lx3T-1=LxaLybLycT-2c

a=3; b+c=0; -2c=-1

* -2c=-1 →c=12

* b+c=0 →b=-c=-12

Sustituyendo:
Q=KL3H-1/2g1/2

Q=KL3gH

4. Se lanza un proyectil de masa m en dirección horizontal, con unavelocidad inicial v0, desde una altura h. Hallar el alcance x utilizando el Análisis Dimensional. Hacer lo mismo si la velocidad inicial forma un ángulo α con la horizontal.
Solución:
5.1.
x=f(Vo, g, h)

x=KVoagbhc

Lx=LxT-1aLyT-2bLyc

Lx=LxaLyb+cT-a-2b

a=1; b+c=0; -a-2b=0
* -a-2b=0
-1-2b=0→ b=-1/2
*b+c=0 →c=-b=1/2

Sustituyendo:
x=KVog-1/2h1/2

x=KVohg5.2.
x=f(Vo, g, h,θ)

x=KVoagchdθe

x=KVxaVybgchdθe
Dimensionalmente:
Lx=LxT-1aLyT-1bLyT-2cLyd

Lx=LxaLyb+c+dT-a-b-2c

a=1; b+c+d=0; a+b+2c=0

*1+b+2c=0 →b=-2c-1

*-2c-1+c+d=0 →d=c+1

Sustituyendo

x=KVx1Vy-2c-1gchc+1

x=KVxVy-1hVy-2ghc

x=KVocosθ∙Vosenθ∙hghVo2senθc

5. La velocidad de salida del gas contenido en un recipiente, a través de un orificio practicado enlas paredes del mismo, depende de la presión interior, de la densidad del gas y de la presión exterior. Para unas condiciones determinadas, la velocidad de escape del aire es de 100 m/s. ¿Cuál será la velocidad correspondiente para el H2 en las mismas condiciones? (La relación entre las densidades del aire y del hidrógeno es de 14.4).
Solución:
V=fpi,pe,ρ

V=Kpiapebρc
Dimensionalmente:LT-1=ML-1T-2aML-1T-2bML-3c

LT-1=Ma+b+cL-a-b-3cT-2a-2b

a+b+c=0; -a-b-3c=-1; -2a-2b=-1
* -2a-2b=-1
a+b=12
b=12-a
* a+b+c=0
12+c=0
c=-12
Sustituyendo:
V=Kpiape12-aρ12

Si la velocidad de salida es 100 m/s, entonces para calcular la velocidad del H2 en las mismas condiciones, debemos utilizar la siguiente relación:
V=Kρ12

Entonces
VH2O=KρH2O12

Vaire=Kρaire12Dividiendo
VH2OVaire=KρH2O12Kρaire12

VH2O=ρH2Oρaire12Vaire

VH2O=114,412100=26,2523 m/s

6. Un cilindro que puede girar en torno a su eje está sometido a un par de fuerzas de tipo elástico proporcional al ángulo que lo separa de su posición de equilibrio, de modo que realiza un movimiento oscilatorio. Determine, mediante análisis dimensional, el periodo de dichas oscilaciones.Solución:
T=f(k, I)

T=K kaIb
Dimensionalmente:
T=ML2T-2aML2b

T=Ma+bL2a+2bT-2a

a+b=0; -2a=1

a=-12; b=12

Sustituyendo
T=K k-1/2I1/2

T=KIk

7. Mediante análisis dimensional, deducir la expresión que relaciona la longitud de onda asociada una partícula con su masa y su velocidad, sabiendo que también depende de la constante de Planck.
Solución:
λ=f(m,V,h)

λ=KmaVbhc...