Análisis Numerico

SOLUCIÓN:
1) Establecer la formulación variacional del problema:
El problema dado en el enunciado lo vamos a dejar en función de la transmisividad T(x,y), el caudal Q(x,y) y nuestra incógnitaque es la altura piezométrica H(x,y)=H; quedando:

Para obtener la formulación variacional multiplicamos toda la ecuación por una función “test” w(x, y)=w e integramos en el dominio Ω:

Aplicamosahora el Teorema de Green a la primera de las integrales:

Dado que la frontera está compuesta por un tramo con condición Neumann y otro tramo con condición Dirichlet, podemos separar ambos tramos:Teniendo en cuenta que:

Tendremos

Hallar tal que:

Tanto la solución como la función hay que buscarlas en el espacio funcional de Sobolev para que las integrales que están en FormulaciónVariacional tenga sentido.

2) Realizar la formulación aproximada a partir de la formulación variacional:
Podemos expresar la función incógnita del problema anterior como:

Donde {ϕ(x,y)} esel vector columna de funciones de base y {H} es el vector de valores nodales de la función Hh(x,y). Con esta notación se tiene que:

Análogamente:

Con lasexpresiones anteriores podremos expresar la formulación variacional como:

Lo anterior, junto a la consideración de que el vector de valores nodales {w} puede ser tomado libremente, nos permite escribir elproblema aproximado en forma del sistema algebraico lineal siguiente; quitando {w}T:

En la expresión anterior, la matriz del lado izquierdo de la igualdad es la matriz de rigidez global (aún sinimponer las condiciones de contorno tipo Dirichlet o naturales) y el vector del lado derecho es el vector de cargas global ( también antes de imponer en él las condiciones de contorno de tipoDirichlet).
Un elemento cualquiera de la matriz de rigidez global viene dado por:



Y un elemento cualquiera de vector de cargas global:

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