analisis discriminante

Índice general
1. Análisis Discriminante
1.1. Distancia

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Distancia Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. La generalización de la noción de Distancia Estándar a la situación general p-variada.
1.1.3. Distancia Estándar Multivariada . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.Función Lineal Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Función Lineal Discriminante muestral . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Mezcla de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Mezcla de Distribuciones Normales . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Estadística Circular

27

2.1. ¿Qué es la estadística circular? . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 27
2.2. Vector media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

AgradecimientosAquí ponemos los agradecimientos

Capítulo 1
Análisis Discriminante
1.1.

Distancia

1.1.1.

Distancia Estándar

Definición: Denotemos una variable aleatoria X con media µ y varianza σ 2 > 0.
Entonces la distancia estándar entre dos números x1 y x2 con respecto a la variable
X está dada por:
∆X (x1 , x2 ) =

|x1 − x2 |
σ

.

1. Si σ = 1 entonces la distancia es la misma que ladistancia euclidiana.

2. La distancia es invariante bajo transformaciones lineales no
degeneradas (T es no degenerada si y solo si es no singular).
Sea Y = aX + b donde a = 0 y b son constantes fijas. Similarmente, se
transforma x1 y x2 a yi = axi + b, i = 1, 2. Entonces
3

4

CAPÍTULO 1. ANÁLISIS DISCRIMINANTE

∆Y (y1 , y2 ) =

|y1 − y2 |

var [y]
|a(x1 − x2 )|
= √
a2 σ 2
|x1 −x2 |
=
σ
= ∆X (x1 , x2 ).

3. La distancia estándar es la más útil para distribuciones simétricas. Si la
distribución de X es simétrica con media µ, entonces la función de
densidad de probabilidad (o pdf por sus siglas en inglés) de X depende del
argumento x sólo a través de ∆X (x, µ).
Por simplicidad escribiremos ∆(x) en lugar de ∆X (x, µ).
Supongamos que X es Normal con media µ yvarianza σ 2 . Entonces la función de
densidad está dada por:
fX (x) = √

1 2
1
e[− 2 ∆ (x)] , x ∈ R
2πσ

Ahora supongamos que una variable X está medida en términos de dos
poblaciones, con diferentes medias µj pero con varianzas iguales σ 2 . Al tomar
esperanzas agregaremos un índice al operador Esperanza para indicar la
distribución de la cual se está calculando
E1 (X) = µ1 , var [X] =σ 2 en población 1, y
E2 (X) = µ2 , var [X] = σ 2 en población 2.
Podemos medir la distancia entre las dos medias con:
∆X (µ1 , µ2 ) =

|µ1 − µ2 |
σ

La invarianza de la distancia estándar entre dos medias bajo transformaciones
lineales se sigue de lo anterior.

1.1. DISTANCIA

5

Si la distribución de X es simétrica en ambos grupos, entonces cualquier valor
dado de ∆ = ∆(µ1 , µ2 )está únicamente relacionado a una cierta cantidad de
puntos en común . Esto es importante principalmente para el propósito del
análisis de clasificación, con el fin de desarrollar algo de intuición sobre el
significado de Distancia estándar.
Supongamos X

N (µj , σ 2 ) en la población j, j = 1, 2. Sea ∆ = ∆(µ1 , µ2 ) la

distancia estándar entre las dos medias y
γ=

(µ1 + µ2 )
2

elpunto medio entre las 2 medias.
Consideramos áreas bajo la curva de densidad a la derecha y a la izquierda del
punto medio γ. Asumimos por simplicidad que µ1 > µ2 . Entonces podemos
preguntarnos por la probabilidad de que X esté por debajo de γ, dado que X es
de la población 1, esto es , evaluaremos la integral dada por el área compartida.
Escribimos Pr [X ≤ γ | P1 ] para la integral...