Analisis Matricial

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Unidad Profesional Ticomán
Ingeniería Aeronáutica
Análisis Matricial de Estructuras
PROFESOR: Austria Aguilar Estrella

Trabajo Final “Resolución de Marco por ANSYS y por
el Método Directo de Rigidez”
Por:
Martínez Ramírez Rafael Paris

Grupo 5AV2
Entrega Lunes 2 Junio de 2014

INTRODUCCION:
Elmétodo matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras
hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se
le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque
también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está
diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo aestructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar
los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los
desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la
implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades
de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que
gobiernael comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se
desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden
ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el
más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como
de fuente libre).
El método directo de la rigidez se originó en el campo de laaeronáutica. Los
investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes
de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de
cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a
resolver de forma rápida y sencilla.

OBJETIVO:
El objetivo de este trabajo es resolver un problema de un marco planteado, de dos
formas para compararlos resultados, vamos a emplear el método directo de
rigidez y posteriormente vamos a resolverlo por el programa informático ANSYS,
para comparar los resultados y que quede de forma más clara los conceptos de
resolución de estructuras de forma matricial, la idea también es hacer una guía
práctica de cómo resolver el problema por ambos métodos, ya sea para mí en un
futuro, que me ayude dereferencia, o también para alguno de mis compañeros o
quien este interesado en este tema.

DESARROLLO:
Resolver el siguiente problema de un marco utilizando el método directo de rigidez
y con ANSYS

El primer paso es definir y enumerar los desplazamientos, también darles un
sentido a los miembros estructurales para poder formar las matrices.

Con ayuda de la Matriz de Rigideces para cadamiembro de marco obtendremos
dichos valores, y es la que se encuentra a continuacion.

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑙 + 3 𝑠
𝐿
𝐿
(

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿

−

6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

−(

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑙 + 3 𝑠 )
𝐿
𝐿

−(

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼
𝑙 + 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑠 + 3 𝑙
𝐿
𝐿

6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

4𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑙 + 3 𝑠
𝐿
𝐿

− (6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

−

−(

(

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑙 + 3 𝑠 )
𝐿
𝐿

−(

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿
−

6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

(

−(

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿
𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑠 + 3 𝑙 )
𝐿
𝐿
6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

−

6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿

(

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿
6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

−(

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑠 + 3 𝑙 )
𝐿
𝐿

6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

2𝐸𝐼
𝐿

𝐸𝐴 12𝐸𝐼
− 3 ) 𝑙𝑠
𝐿
𝐿

6𝐸𝐼𝑠
𝐿2

−

(

6𝐸𝐼
𝑠
𝐿2

−

𝐸𝐴 2 12𝐸𝐼 2
𝑠 + 3 𝑙
𝐿
𝐿
−

−

6𝐸𝐼
𝑙
𝐿2

Donde:
E = Modulo Elastico = [ 𝐾𝑁/𝑚2 ]
I = Momento de Inercia = [ 𝑚4 ]
A = Area = [ 𝑚2 ]

l = Cos Ɵ
s = Sen Ɵ
Una vez obtenidas las matrices de rigidecez para cada miembro estructural, que
se calcularon substitullendo los valores de la matriz anterior, vamos a numerar las
columnas y matrices...