Angulos en la circunferencia-preupdv

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C u r s o : Matemática Material N° 16
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA:

Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta( OA ). Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE ).

r O 1

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r)

RADIO:

D B P

cuerda diámetro secante

E
arco

O

C
radio

CUERDA:

A Q M

T
tangente

DIÁMETRO:

Cuerda que contiene al centro de la circunferencia, mide 2 radios, es decir d = 2r en la figura, ( BC ).

SECANTE: TANGENTE:

Recta que intersecta endos puntos a la circunferencia (PQ) Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia. Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella, por ejemplo arco CE ( CE ).

ARCO:

ÁNGULO DEL CENTRO:Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia ( EOD).

EJEMPLOS

1.

¿Cuál de las siguientes opciones esfalsa? A) B) C) D) E) El radio de una circunferencia mide la mitad del diámetro. Dos cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes. En circunferencias congruentes los diámetros son congruentes. Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. Por tres puntos en el plano siempre pasa una circunferencia.

2.

Dos circunferencias sonconcéntricas

A) B) C) D) E)

si una pasa por el centro de la otra. sólo si sus radios son congruentes. sólo si tienen el mismo centro. sólo si tienen dos cuerdas congruentes. si el radio de una es el doble del radio de la otra.

3.

¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) B) C) D) E)

Una cuerda no puede pertenecer a una secante. La mayor secante es el diámetro. La tangente corta endos puntos a la circunferencia. Toda cuerda pasa por el centro. El diámetro es la cuerda de mayor longitud.

4.

En la circunferencia de centro O de figura 1, AC y BD son diámetros. Si OD = 4x – 2 y
AC = 6x + 4, entonces OC =

A A) B) C) D) E) 8 10 12 14 16 O

D

fig. 1 B C

5.

En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro y AO = CD . ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) II) III)

AB // CD AB = 2 CD ∆OCD es equilátero.

fig. 2 A O B D

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

C

2

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
D

DE =

EOD = α
E

α O

O centro dela circunferencia
H

ÁNGULO INSCRITO:

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ( FHG).

G F

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como medida la mitad del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

α

O

α 2

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, AB y CF sondiámetros. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? F I) 2 ODC = II) III)
AE ≅ OE AB ⊥ DC

DOF

D O

B E

A A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

C

fig. 1

2.

Si en la circunferencia de centro O de la figura 2, AC es diámetro, la medida del ángulo x es B
x
53º

A) B) C) D) E)

26,5º 27º 63,5º 64º 90º

C

O fig. 2 A 3 3.

En la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto mide el suplemento de β?

A) 4º B) 64º C) 86º D) 116º E) 180º

3x + 10º

O β

x

fig. 3

x + 30º

4.

En la circunferencia de centro O de la figura 4, 2α + β = 120º. Entonces, el valor de β es

A) B) C) D) E)

15º 30º 45º 60º 75º

β O α fig. 4

5.

En la figura 5, CD es un diámetro de la circunferencia...
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