Anillos (espacios vectoriales)

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Anillos y Cuerpos
Anillos
Sea un conjunto R con dos operaciones internas que llamaremos suma (+) y producto (·). Diremos que (R, +, ·) es un anillo si verifica: • (R, +) es un grupo abeliano. • (R,·) es un semigrupo. • Para cualesquiera a, b, c ∈ R se cumplen: a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc Cuando (R, ·) es un monoide se dice que R es un anillo unitario o anillo con unidad querepresentaremos por 1 (elemento nuetro del producto). Cuando (R, ·) es un semigrupo conmutativo, se dice que R es anillo conmutativo.
Prof. Francisco Rodr´guez ı 1

´ Ejemplos: Los conjuntos numericos conlas operaciones habituales (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son anillos conmutativos unitarios. (N, +, ·) no es un anillo por no ser (N, +) un grupo.

Ejemplos: Para cada entero positivo n,el conjunto de enteros modulares Zn junto con la suma y el producto es anillo (conmutativo y unitario).

Teorema 1 Si R es un anillo, con elemento neutro aditivo 0, entonces para cualesquieraelementos a, b ∈ R se tiene: 1) 0a = a0 = 0 2) a(−b) = (−a)b = −(ab) 3) (−a)(−b) = ab
Muchas de las propiedades de los anillos son reformulaciones de las propiedades correspondientes a los grupos, porejemplo • • Si m, n ∈ Z, a ∈ R Si m, n ∈ N, a ∈ R ma + na = (m + n)a m(na) = (mn)a aman = am+n (am )n = amn

´ Al ser una estructura mas rica que la de grupo, se tienen expresiones completamente nuevasbasadas en la propiedad distributiva
Prof. Francisco Rodr´guez ı 2

Teorema 2 Para cualquier entero n, dados a, b en un anillo R, se verifican las siguientes propiedades: 1) n(ab) = (na)b = a(nb)´ ´ 2) la formula binomial (tambien conocida como binomio de Newton) (a + b)n = n i n−i ab i=0 i
n

Subanillos S es un subanillo de R si es anillo con las opereraciones definidas en R, es decir:Dados x, y ∈ S ⇒ x − y ∈ S y xy ∈ S Ejemplo: enteros gaussianos Z(i) = {a + ib | a, b ∈ Z}
es un subanillo de C. ´ La interseccion de subanillos de un anillo R sigue siendo subanillo, por tanto dado...
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